1、3.2.2 奇偶性奇偶性教学目标通过具体实例，理解奇函数、偶函数的定义（重点、难点）01 掌握奇函数、偶函数图像的特征（难点）02 会判断函数奇偶性（重点、难点）0304 函数的奇偶性函数的奇偶性学科素养 奇函数、偶函数的定义数学抽象 通过具体实例，理解奇函数、偶函数的定义直观想象 判断函数奇偶性逻辑推理判断函数奇偶性数学运算数据分析数学建模 函数的奇偶性函数的奇偶性01Retrospective Knowledge函数的单调性与最值函数的单调性与最值1 1增函数与减函数的定义增函数与减函数的定义:设函数f(x)的定义域为I，区间DI,x1,x2D,且x1x2 ，如果都有f(x1)f(x2),
2、那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.2 2函数的最值：函数的最值：一般地，设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得 f(x0)M那么，称M是函数 yf(x)的最大值（2）对于任意xI，都有f(x)N；存在x0I，使得 f(x0)N那么，称N是函数 yf(x)的最小值图像的对称性图像的对称性图像的对称性图像的对称性轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称，这条直线称作该轴对称图形的对称轴.（把图形沿对称轴对折，对称轴两侧的图形完全重合）中心对称图形：如果一个图形上
3、的任意一点关于某 一点的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称，这个点称作该中心对称图形的对称中心.（把图形沿对称中心旋转180o，旋转后与原来的图形完全重合）02New Knowledge explore 函数的奇偶性函数的奇偶性 前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质.观察函数观察函数f(x)=x2，g(x)=2-|x|的图象的图象,你能发现这两个函数图像有你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？什么共同特征吗？f(x)=x2g(x)=2-|x|这两个函数的图像都关于这两个函数的图像都关于y轴对称轴对
4、称.偶函数偶函数 函数的奇偶性函数的奇偶性x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：9 94 41 10 01 14 49 9-1-10 01 12 21 10 0-1-1 观类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？）探究探究偶函数偶函数 函数的奇偶性函数的奇偶性g(x)=2-|x|例如,对于函数f(x)=x2,有：)3(9)3(ff)2(4)2(ff)1(1)1(ff实际上,对于xR,都有：f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，这时候,我们称函数f(x)=x
5、2为偶函数.对于函数g(x)=2-|x|,有：)3(1)3(gg)2(0)2(gg)1(1)1(gg实际上,对于xR,都有：g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)我们称函数g(x)=2-|x|为 偶函数.偶函数偶函数 函数的奇偶性函数的奇偶性 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果，都有，且，那么函数f(x)就叫做 xI，都有都有xI定义域定义域I关于原点对称关于原点对称-aaO),(aaO-aa),(),(aaOa-ab-b),(),(baab偶函数偶函数 函数的奇偶性函数的奇偶性 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果，都有，且，那么函数f(x)就叫做 偶函数偶函数 函数的奇偶
6、性函数的奇偶性 探究探究 观察函数观察函数 的图象的图象,你能发现这两个函数图像有什么共你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？xxgxxf1)(,)(这两个函数的图像都关于原点成中心对称这两个函数的图像都关于原点成中心对称.奇函数奇函数 函数的奇偶性函数的奇偶性x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3 为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：-3-3-2-2-1-10 01 12 23 321 31 21311 1xxg1)(奇函数奇函数 函数的奇偶性函数的
7、奇偶性实际上,对于xR,都有：f(x)=x=f(x)，我们称函数f(x)=x为奇函数.xxg1)(例如,对于函数f(x)=x,有：)3(3)3(ff)2(2)2(ff)1(1)1(ff)3(31)3(gg)2(21)2(gg)1(1)1(gg对于函数 ,有：xxg1)(对于 ,都有：我们称函数 为奇函数.)(11)(xgxxxgxxg1)(),0()0,(x奇函数奇函数 函数的奇偶性函数的奇偶性奇函数奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果，都有，且，那么函数f(x)就叫做 xI，都有都有xI定义域定义域I关于原点对称关于原点对称 函数的奇偶性函数的奇偶性奇函数奇函数函数函数f(x)=
8、x,x-2,2是奇函数吗？是奇函数吗？函数函数g(x)=x,x-1,3是奇函数吗？是奇函数吗？一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果，都有，且，那么函数f(x)就叫做 函数的奇偶性函数的奇偶性1.根据函数的图象判断函数奇偶性：偶函数偶函数 图象关于图象关于y轴对称轴对称奇函数奇函数 图象关于原点对称图象关于原点对称2.根据定义判断函数的奇偶性：（1 1）先求定义域，看是否关于原点对称；）先求定义域，看是否关于原点对称；（2 2）再判断）再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立；是否恒成立；（3 3）根据定义下结论）根据定义下结论函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 函数的奇
9、偶性函数的奇偶性例例1 1 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：xxxf1)(又.),0()0,(1)()1(，关于原点对称的定义域为因为【解析】xxxf.1)(2为偶函数所以xxf),(1)(1)(22xfxxxf又.1)(为奇函数所以xxxf),()1(xfxx21)().2(1)(.1xxfxxxf）（.),0()0,(1)()2(2，关于原点对称的定义域为因为【解析】xxf函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 函数的奇偶性函数的奇偶性函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 函数的奇偶性函数的奇偶性练习练习1 1 判断下列函数的奇偶性：;)(.13xxxf2.()11;f xxxxxxxx
10、f33)()()(又，关于原点对称定义域为【解析】Rxf)()1(.)(为奇函数所以xf，得：令【解析】110101)2(xxx)(11)(xxxf又.)(为偶函数所以xf)()(3xfxx，关于原点对称定义域为所以 1,1)(xf)(11xfxx03Expansion And Promotion 函数的奇偶性函数的奇偶性练习练习2 2 判断函数 的奇偶性.22()11f xxx 11111010122xxxxxx，即或，得【解析】令，关于原点对称定义域为所以1,1:)(xf,0)1(,0)1(ff因为.)(既是奇函数也是偶函数所以xf,)()(,)()(xfxfxfxf所以,0)(xf即 函
11、数的奇偶性函数的奇偶性，关于原点对称定义域为【解析】),0()0,(:)(xf练习练习3 3 判断函数 的奇偶性.0,0,)(22xxxxxxxf)()(22xfxxxx)()()(2xxxf所以，时，当xxxfx2)(0)()(22xfxxxx)()()(2xxxf所以，时，当xxxfx2)(0，此时0 x，此时0 x),()(xfxf综上可得：.)(为奇函数所以xf 函数的奇偶性函数的奇偶性练习练习4 4 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x，yR，都有 ，求证：f(x)为奇函数.()()()f xyf xf y，关于原点对称定义域为【解析】Rxf)(，得：令)0()()0(,0f
12、xfxfy，所以0)0(f，得：令)()()(,xfxfxxfxy，即0)()()0(xfxff，所以)()(xfxf.)(为奇函数所以xf04Sum Up 函数的奇偶性函数的奇偶性 偶函数：设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)=f(x)，那么 函数f(x)就叫做偶函数 奇函数：设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)=f(x)，那么 函数f(x)就叫做奇函数（1）图象法）图象法:偶函数图像关于y轴对称，奇函数关于原点对称；（2）定义法）定义法:先求定义域，看是否关于原点对称；再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；根据定义下结论 （奇函数，偶函数，既不是奇函数也不是偶函数，既是奇函数也是偶函数）05Homework After Class 函数的奇偶性函数的奇偶性2.()1xfxx293.()33xf xx判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：22)(.1xxxf
