1、第三章函数的概念与性质第三章函数的概念与性质3.3.2（第二课时）函数的周期性与对称性李思2 0 2 101函数的周期性函数的对称性典型例题0203CONTENTS目录1.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2.函数的对称性对称性常用的三个结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(
2、2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称例1：已知f(x)在R上是偶函数，且满足f(x3)f(x)，当x 时，f(x)2x2，则f(5)（）解析：由f(x3)f(x)知，函数的周期为3，所以f(5)f(56)f(1)，又函数为偶函数，所以f(5)f(1)2122，故选BA8 B2 C2 D50例2：已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x，则f(37.5)_解析：由f(x2)f(x)得f(x4
3、)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(37.5)f(941.5)f(1.5)f(20.5)f(0.5)f(0.5)0.5例例3：已知函数已知函数f（x）对任意）对任意xR都有都有f（x+2）+f（x2）0，若，若yf（x+1）的图）的图象关于点（象关于点（1，0）对称，且）对称，且f（1）2，则，则f（2021）（）（）A2 B0 C1 D2解析：由f（x+2）+f（x2）0，得f（x+2）f（x2），即f（x+4）f（x），则f（x+8）f（x+4）f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，若yf（x+1）的图象关于点（1，0）对称，则若yf（x）的图象关于点
4、（0，0）对称，即f（x）是奇函数，则f（2021）f（2528+5）f（5）f（1+4）f（1）-2，故选：A例4：函数f（x）对于任意实数x都满足f（x+2）f（x），若f（1）5，则f（f（5）（）A5 B5 C2 D0解析：f（x+2）f（x），f（1）5，f（5）f（3）f（1）5，f（f（5）f（5）f（3）f（1）f（1）（5）5故选：A例5：已知f（x）f（2x），xR，当x（1，+）时，f（x）为增函数，设af（1），bf（2），cf（1），则a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccab Dcba解析：f（x）f（2x）f（1）f（3）x（1，+）时，f（x）为增函
5、数f（3）f（2）f（1）cba故选：D例6：已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系为()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)解析：由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，所以函数f(x)的周期是2因为函数f(x)为偶函数，所以f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)因为f(x)在区间0,1上是单调递增的，所以f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)故选A例7：定义在R上
6、的函数f(x)满足：对任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于y轴对称则下列结论正确的是()A.f(7)f(6.5)f(4.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(4.5)f(6.5)f(7)D.f(4.5)f(7)f(6.5)解析：由知函数f(x)的周期为4，由知f(x2)是偶函数，有f(x2)f(x2)，即(x)图象的一条对称轴是x2，由知函数f(x)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近x2，对应的函数值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)，故选D例8：定义在R上的函数f（x）是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）等于（）A1 B0 C1 D4解析：据题意f（7）f（1+8）f（1），f（1）+f（7）0，又f（4）f（0）0，f（1）+f（4）+f（7）0故选：BThanks.
