1、第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简例1(1)化简： .(2)已知cos，则sin .答案(1)cos 2x(2)解析(1)原式cos 2x.(2)由题意可得，cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos0，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式可得cos 2，由两角差的正弦公式可得sinsin 2cos cos 2sin .思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点(1)已知cos(x)，则cos xcos(x) .(2
2、)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. BC. D答案(1)1(2)D解析(1)cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin xcos(x)()1.(2)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，cos，sin 2cos2cos21.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)(2017合肥联考)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos .答案解析为锐角，sin .，(0，)，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)(2015广东)已知tan 2.求tan()的值；
3、求的值解tan()3.1.命题点2给值求角问题例3(1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A. B.C. D.或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为 答案(1)C(2)解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，(，2)，.(2)tan tan()0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin ，cos ，则 .答案解析，为锐角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .又0，.思维升华(1)给值求值问题的关键在“变角”
4、，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角(1)已知，且2sin2sin cos 3cos20，则 .(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A. B.C. D.答案(1)(2)C解析(1)，且2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos )(sin cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.(2)、均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()().题型三三角恒等变换的应用例4(2016天津)已知函数f(
5、x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为x|xk，kZf(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，Bx|kxk，kZ，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、
6、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性(1)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为 (2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)，1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.9化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例(12分)(
7、2015重庆)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性思想方法指导(1)讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数(2)研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决规范解答解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，4分因此f(x)的最小正周期为，最大值为.6分(2)当x时，02x，7分从而当02x，即x时，f(x)单调递增，9分当2x，即x时，f(x)单调递减11分综上
8、可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减12分1(2016青岛模拟)设tan()，则tan()等于()A2 B2 C4 D4答案C解析因为tan()，所以tan ，故tan()4，故选C.2(2016全国甲卷)若cos，则sin 2等于()A. B. C D答案D解析因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 221，故选D.3(2016福州模拟)已知tan 3，则的值等于()A2 B3C4 D6答案D解析2tan 236.4已知tan()，且0，则等于()A BC D.答案A解析由tan()，得tan .又0，所以sin .故2sin .5设(0，)，(0，)，且tan ，则
9、()A3 B2C3 D2答案B解析由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.6函数f(x)sin(2x)cos(2x)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案C解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由题意知2k(kZ)，k(kZ)|，.f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)故选C.7若f(x)2tan x，则f的值为 答案8解析f(x)2tan x2tan x，f8.8若锐角、满足(1tan )(
10、1tan )4，则 .答案解析由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.9化简： .答案4解析原式4.10函数f(x)sin x2sin2x (x)的最小值是 答案1解析f(x)sin x(1cos x)2sin(x)1，又x，x，f(x)min2sin 11.11已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f()的值；(2)若sin ，且(，)，求f()解(1)f()cos2sincos()2.(2)因为f(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，所以f()sin()sin()(sin cos )又
11、因为sin ，且(，)，所以cos ，所以f()().12已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当(，)时，若f()，求的值解(1)因为f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin(4x)，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin(4)1.因为(，)，所以4(，)所以4.故.*13.已知函数f(x)sinsin()(1)求函数f(x)在，0上的单调区间；(2)已知角满足(0，)，2f(2)4f(2)1，求f()的值解f(x)sinsin()sincossin x.(1)函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，0(2)2f(2)4f(2)1sin 22sin(2)12sin cos 2(cos2sin2)1cos22sin cos 3sin20(cos 3sin )(cos sin )0.(0，)，cos sin 0tan 1得，f()sin.
