1、1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常
2、通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题【知识拓展】1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为：AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1(教材改编)已知A
3、BC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，ABC为直角三角形2已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于()A6 B5C4 D3答案D解析在ABC中，由余弦定理可得，AB2AC22ABACcos ABC2，又|cos A16，所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3，故选D.3(2017武汉质检)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2
4、)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.4(2016银川模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_答案4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4|2ab|的最大值为4.5(2016江西八校联考)在ABC中，(，)，(1，)，则ABC的面积为_答案1解析cosBAC，sinBAC，SABC|sinBAC1.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，A
5、D1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心答案(1)(2)C解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究本例(2)中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于
6、，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(1)在ABC中，已知向量与满足()0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案(1)A(2)5解析(1)，分别
7、为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线因为()0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPy.则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，则3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由点P是腰DC上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2的最小值为25.故|3|的最小值为5.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k,12)，(
8、4,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去
9、“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法(2016合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_答案解析圆心O是直径AB的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小由条件知，当POPC时，最小值为2.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知x，y满足若(x,1)
10、，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_答案解析因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命题点2向量在解三角形中的应用例4(2016合肥模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于()A. B.C. D.答案C解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共
11、线，ABC最小角为角A，cos A，sin A，故选C.(1)函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且0，则函数f(x)的最小正周期是_(2)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_答案(1)3(2)3解析(1)由图象可知，M，N，所以(xN，1)xN10，解得xN2，所以函数f(x)的最小正周期是23.(2)(x，y)，(1,1)，(0,1)，(2,3)，xy，y，2x3y，即在条件下，求z2x3y的最大值，由线性规划知识得，当x0，y1时，zmax
12、3.三审图形抓特点典例(2016太原一模)已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D，解析由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MFx轴，垂足为F，如图B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysin(x)图象可以看作是由ysin x的图象向左平移得到，故可知，即.答案A1在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角
13、三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2(2016山东)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故选B.3(2016南宁模拟)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，则sin 2等于()A3 B3C. D答案D解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，sin2，c
14、os2，sin 22sin cos cos2.4(2016武汉模拟)设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，则C等于()A. B.C. D.答案C解析依题意得sin Acos Bcos Asin B1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)，sin Ccos C1,2sin(C)1，sin(C).又C0，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.9设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_答案2解析.因为()2，所以的最大值为2.*10.已知
15、圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos )2(y5sin )21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_答案6解析圆(x2)2y24的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x25cos )2(y5sin )21，圆心M(25cos ，5sin )，半径为1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则最小值是，HCCM1514，HFHE2，sinCHE，cosEHFcos 2CHE12sin2CHE，|cosEHF226.11已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)
16、设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0，得0，又0，所以，.12在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos A，sin A)，向量n(sin A，cos A)，若|mn|2.(1)求内角A的大小；(2)若b4，且ca，求ABC的面积解(1)|mn|2(cos Asin A)2(sin Acos A)242(cos Asin A)44cos(A)4
17、4cos(A)4，cos(A)0.A(0，)，A，A.(2)由余弦定理知：a2b2c22bccos A，即a2(4)2(a)224acos，解得a4，c8.SABCbcsin A4816.*13.设向量a(cos xsin x，1)，b(2sin x，1)，其中0，xR，已知函数f(x)ab的最小正周期为4.(1)求的值；(2)若sin x0是关于t的方程2t2t10的根，且x0，求f(x0)的值解(1)f(x)ab(cos xsin x，1)(2sin x，1)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2xsin.因为T4，所以4，.(2)方程2t2t10的两根为t1，t21.因为x0，所以sin x0(1,1)，所以sin x0，即x0.又由(1)知f(x0)sin，所以fsinsin .
