1、 6.3.1 6.3.1 二项式定理二项式定理2(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3=a3+3a2b+3a
2、b2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题：问题：（1）(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？（2）各项前的系数代表着什么？）各项前的系数代表着什么？（3）你能分析说明各项前的系数吗？）你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数次数)()()()(4bababababa432234,babbabaa容易看到，等号右边的积的展开式的每
3、一项，容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：次式，即展开式应有下面形式的各项：现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？就是看展开式中各项的系数是什么？在上面在上面4个括号中：个括号中：14Cba314C恰有恰有1个取个取b的情况下有的情况下有种，所以种，所以的系数是的系数是；24C22ba的系数是的系数是24C；恰有恰有2个取个取b的情况下有的情况下有种，所以种，所以04C4a04C每个都不取每
4、个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即种，所以种，所以的系数的系数；是是4个都取个都取b的情况下有的情况下有44C种，所以种，所以4b的系数是的系数是44C；34C3ab34C恰有恰有3个取个取b的情况下有的情况下有种，所以种，所以的系数是的系数是；44433422243144044CCCCC)(babbabaaba因此因此?)(nba请同学们归纳、猜想：请同学们归纳、猜想：二项展开式定理：二项展开式定理：*C 110NnbbaCbaCaCbannnkknknnnnnn每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即Cn0,则则an前的系数为前的系数为Cn0恰有恰有1个取个取b的情况有的情
5、况有Cn1种，则种，则an-1b前的系数为前的系数为Cn1恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有Cn2 种，则种，则an-2b2前的系数为前的系数为Cn2.恰有恰有k个取个取b的情况有的情况有Cnk 种，则种，则an-kbk前的系数为前的系数为Cnk.恰有恰有n个取个取b的情况有的情况有Cnn 种，则种，则bn前的系数为前的系数为Cnn右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的二项展开式二项展开式Cnk an-kbk：二项展开式的：二项展开式的通项通项，记作，记作Tk+1Cnk：二项式系数二项式系数各项中各项中a的指数从的指数从n起依次减小起依次减小1，到，到0为此为此 各项中各项中b的指
6、数从的指数从0起依次增加起依次增加1，到，到n为此为此如如(1+x)n=1+Cn1 x+Cn2 x2+Cnk xk+xn注：注：解解:61(x).x 求求的的展展开开式式例例1 1：,根根据据二二项项式式定定理理6161(x)(xx)x 06151242333424515666666666C xC x xC x xC x xC x xC x xC x 642246x6x15x2015x6xx例例2：(1)求求(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的系数项的系数 9312xx.x 求求的的展展开开式式中中的的系系数数解：解：(1)(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项是项是T3+1=C7
7、3 17-3(2x)3 =3523x3 =280 x3 912xx 的的展展开开式式的的通通项项是是 rrr9 rr9 2r991C x1C xx 令令9-2r=39-2r=3解得解得r=3r=3x x3 3系数是系数是(-1)(-1)3 3C C9 93 3=-84=-84例例2：(1)求求(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的系数项的系数 9312xx.x 求求的的展展开开式式中中的的系系数数解：解：1）注意二项式定理中二项展开式的特征）注意二项式定理中二项展开式的特征2）区别二项式系数，项的系数）区别二项式系数，项的系数3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项数及项 小结：小结：2.2.求（求（x+a)x+a)1212的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4 4项项解解:912 99399 112220.TC xax a(x+a)12的展开式有的展开式有13项项,倒数第倒数第4项是它的第项是它的第10项项13 学以致用：学以致用：B14 学以致用：学以致用：52)23(xx5求求展开式中含展开式中含x项的系数。项的系数。555424581510)23(C)23(C)23(Cxxxxxx5252)23()23(xxxx解：解：5)23(x24023CC44555。显然只有显然只有中含有中含有x项，其系数为项，其系数为
