1、 6.3.2 二项式系数的性质 高二数学选择性必修 第三册 第六章 计数原理学习目标1.理解和掌握二项式系数的性质，并会 进行简单的应用;2.理解和初步掌握赋值法及其应用;3.能灵活应用二项式系数的性质求二项展开式 系数最大项.4.核心素养:数学抽象、数学运算。1、二项式定理:011()()nnnk n k kn nnnnna bC aCa bC abC b n N 二项式系数:1kn kkknTC ab (0,1,)knCkn 通 项:一、回顾旧知1.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:通过计算填表,你发现了什么?n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 11
2、2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系数具有对称性除此以外还有什么规律呢?二、探究新知1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式:1 7 21 35 35 21 7 17()ab 1 Cn-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5
3、10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离 的项的系数相等.在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于 它“肩上”两个数的和.mnmnnCC 11rrrnnnCCC 这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似右侧的表：早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法二项式系数表，在书中 说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和;指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋
4、数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.展开式的二项式系数依次是：()nab 012C,C,C,Cnnnnn 从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：Crn()f r 0,1,2,n 当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O6152012.二项式系数的性质1).对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式 得到CCmn mnn 图象的对称轴：2nr f（r）63O6152
5、013.二项式系数的性质2).增减性与最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnn kn kk kk 所以 相对于 的增减情况由 决定 由：1112n knkk 12nk 可知，当 时，Ckn1Ckn 1nkk 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值3.二项式系数的性质f（r）rnO2n2n122n Onf（r）n为奇数122n n为偶数当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.2nnC当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值12nnC 12nnC 3).各二项式系数的和 在二项式定理中,令 ，则：1ab 012CCCC2nnn
6、nnn 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于()nab 2n同时由于 上式还可以写成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 这是组合总数公式.3.二项式系数的性质 一般地，展开式的二项式系数 有如下性质：nba)(1 1).).nnnnCCC,10mnnmnCC(2 2).).(3 3).).当当 时，时，(4 4).).mnmnmnCCC1121nk1knknCC 当当 时，时，12nkknknCC1nnnnnCCC2101.例1.证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和.01-1()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC
7、 b 1,1ab 令令0123(1 1)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130()()nnnnCCCC 在展开式证明:得即赋值法中三、应用新知0213nnnnCCCC =2n-1(1).已知已知 ,那么那么 =；591515,Ca Cb1016Cba192.变式训练1(3).在(ab)20展开式中,与第五项的系数相同的项是().A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项C()nab(2).若 的展开式中的第十项和第十一项 的二项式系数最大，则n=；(4).在(ab)10展开式中,系数最大的项是().A第6项 B第7项 C第6项和第7项 D第5项和第7项A(5).在(ab)10
8、展开式中,系数最大的项是().A第6项 B第7项 C第6项和第7项 D第5项和第7项D2.变式训练1在 展开式中 1023xy(1).求二项式系数的和;3.例2.(2).各项系数的和;(3).奇数项的二项式系数和与偶数项的 二项式系数和;(4).奇数项的系数和与偶数项的系数和.102415121 01521 01521).已知:(2x+1)10=a0 x10+a1x9+a2x8+a9x+a10,(1).求a0+a1+a2+a9+a10的值;(2).求a0+a2+a4+a10的值.103=59049101(31)24.变式训练2(1)(1)2ff其 奇 次 项 系 数 的 和 是(1)(1)2f
9、f其 偶 次 项 系 数 的 和 是nbxaxf)()(设设结论:102910012910(21),xaax a xa xa x2 若).)(10932的值为则aaaa20.1.0.20.DCBA D4.变式训练25.例3 求证：(nN,且n2)n3)2(21nn证明:nnnnnnnnnnnCCCC2222)12(312211)22()2(21221nnnnnnnCCCn又n2,上式至少有三项,且nnnnnnCCC221220 (nN，且n2)2(21nnn3).3,(,12)32(1nNnnn证明：证明:要证 成立 12)32(1nn5.变式训练321)23(1nn只需证 成立 11)211()23(nn而1111101)21(21nnnnnCCC221111(1)(212)2nnnC21n所以原不等式成立1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的 组合数,它有三条性质,要理解和掌握好;2.注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能 混淆,只有二项式系数最大的才是中间项，而 系数最大的不一定是中间项;3.理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项 展开式系数的问题的重要手段.四、课堂小结作业:课本P35 习题6.3 9、10题
