1、6.3.1二项式定理高二数学组高二数学组一、学习目标一、学习目标 1、理解和掌握二项式定理，并会简单的应用；2、初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；探究：二、问题导学二、问题导学展开式吗？）（）进一步地，你能写出（的展开式吗？）你能写出（）根据你发现的规律，（现什么规律？析其运算过程，你能发）观察以上展开式，分（）（）（我们知道nbabababbaababababa321332432233222我们先来分析我们先来分析(a+b)2 2展开过程，根据多项式展开过程，根据多项式乘法法则乘法法则因为因为(a+b)2(a+b)(a+b)222)()(bababbabbaaababbaa的形式项，而且
2、每一项都是的展开式共有）（在合并同类项之前，由分步乘法计数原理，展开式的一项，于是，），就得到或选）中选一项（选），再从另一个（或选（选）中选一项）相乘，只要从一个（个（是）可以看到，（)2,1,0(2222121222kbaCCbababababababakk的同类项的个数形如下面我们再来分析一下kkba2个只有，即的组合数）（都取个）中取个（出现的次数相当于从因此，得到的，）中都不选个（这是由时，当10220202222aCabbaabbaabakkk个共有，即的组合数个）中取个（次数相当于从出现的因此的选法也随之确定了，选定后，得到的，由于选）中，另一个（）中选个（这是由时，当2121,
3、1122abCbbaababbbaabaabbakkk个只有，即的组合数个）中取个（出现的次数相当于从因此，得到的，）中都选个（这是由时，当12222222222bCbbabbbabbakkk222122022bCabCaCba）（由上述分析可以得到：的展开式吗？）用计数原理，写出（仿照上述过程，你能利思考43)(,baba因为因为(a+b)3(a+b)(a+b)(a+b)对对(a+b)3 3展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)展开时，每个括号中要么取展开时，每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来相乘得项，而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形
4、式有：所以展开后其项的形式有：a3,a2b,ab2,b3最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展开式中出所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C30,所以所以a3的系数为的系数为C30;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C31种，所以种，所以a2b的系数为的系数为C31;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C32 种，所以种，所以ab2的系数为的系数为C32;因为恰有因为恰有3个取个取b的情况有的情况有C33 种，所以种，所以 b3的系数为的系数为C33;
5、故故(a+b)3 C30 a3 C31 a2b C32ab2 C33b3因为恰有因为恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，所以种，所以b4的系数为的系数为C44(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4因为因为(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？对对(a+b)4 4展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C40,所以所以a4的系数为的系数为C40;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C41 种，所以种，所以a3b的系数为的系数为C41
6、;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，所以种，所以 a2b2的系数为的系数为C42;因为恰有因为恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，所以种，所以 ab3的系数为的系数为C43;分析分析(a+b)n的展开式的展开式:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)011222()nnnnrn rrnnnnnnna bC aC ab C abC abC b 因为恰有因为恰有n个取个取b的情况有的情况有Cnn种，所以种，所以b4的系数为的系数为Cnn因为因为(a+b)n？展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项相乘得
7、项,所以展开后其项的形式有所以展开后其项的形式有:an,an-1b,an-2b2,bn最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项在展项的系数为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即Cn0,所以所以an的系数为的系数为Cn0;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有Cn1 种，所以种，所以an-1b的系数为的系数为Cn1;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有Cn2 种，所以种，所以 an-2b2的系数为的系数为Cn2;二项展开式定理二项展开式定理右边的多项式叫做右边的多项
8、式叫做(a+b)n的的二项展开式二项展开式其中其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，记作，记作Tr+1Cnr 叫做叫做 二项式系数二项式系数.一般地，对于一般地，对于n N*，有：，有：011222()nnnnrn rrnnnnnnna bC aC ab C abC abC b 二项展开式的特点二项展开式的特点:项数：项数：共共n1项项指数：指数：a按降幂排列，按降幂排列，b按升幂排列按升幂排列，每一项中每一项中a、b的指数和为的指数和为n系数系数:第第r1项的二项式系数为项的二项式系数为 (r0,1,2,，n）rnC特殊地特殊地:2.令令a=1，b=x则则(1
9、+x)n=1+Cnx+Cnxr+Cnxnrn11.把把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)rCnan-rbr +(-1)nCnbn01rn对定理的再认识：对定理的再认识：013CCC.nnnn(11)n 2n 思考：二项式系数与项的系数有思考：二项式系数与项的系数有何区别？何区别？二项式系数：各项系数与二项式系数的区别例例1三、点拨精讲三、点拨精讲的展开式）求（61xx 616)()1(xxxx解：根据二项式定理6422466662426151660661520156xxxxxxxCxxCxxCxC例2、（1）求（1+2x)7的展开式的第4项的系数及二项式系数3
10、33337337371372808352)2(1421xxxCxCTx项是的展开式的第）解：（所以展开式第所以展开式第4项的系数是项的系数是280，二项式系数是二项式系数是C73=35的系数的展开式中）求（26122xxx kkkkkkkxCxxCxx3666662)1()1()2(12的展开式的通项是）解：求（1922)1(1231652Cxkk的系数是因此，根据题意，得四、课堂小结四、课堂小结 1、二项式定理理解及记忆 2、二项式系数与项的系数区别1.1.求证：求证：除以除以9 9的余的余 数为数为 7 7；2.2.求多项式：求多项式：的展开式中的展开式中 的系数的系数.3.(3.(a+2+2b+3+3c)7 7的展开式中的展开式中a2 2b3 3c2 2项的系数是多少？项的系数是多少？1227272727SCCC2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x五、当堂训练五、当堂训练
