1、7.3离散型随机变 量的数字特征第七章随机变量及其分布目录二、知识讲解三、小结四、练习一、上节回溯一、上节回溯离散型随机变量及其分布两点分布或01 分布随机变量离散型随机变量分布列二、知识讲解离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征二、知识讲解7.3.1离散型随机变量的均值问题1甲、乙两名
2、射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表 7.3-1 所示表 7.3-10.20.10.30.47环数 X甲射中的概率0.250.150.40.2乙射中的概率8910如何比较他们射箭水平的高低呢？类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性二、知识讲解二、知识讲解一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如表 7.3-2 所示，表 7.3-2x2x1xnXPp2p1pn则称为随机变量 X 的均值（mean）或数学期望（mathematical expectation），数学期望简称期望均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反
3、映了随机变量取值的平均水平二、知识讲解例1在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果某运动员罚球命中的概率为 0.8，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是多少？分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时 X1，不中时 X0，因此随机变量 X 服从两点分布X 的均值反映了该运动员罚球 1 次的平均得分水平例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求 X 的均值分析：先求出 X 的分布列，再根据定义计算 X 的均值二、知识讲解掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数 X 的均值为 3.5随机模拟这个试验，重复 60 次和重复 300 次各做 6 次，观测出现的点数并计算平均数根据
4、观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图 7.3-1（1）和（2）所示观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？探究二、知识讲解1023456733.23.13.33.43.53.63.73.83.94（1）n601023456733.23.13.33.43.53.63.73.83.94（2）n300图 7.3-1 二、知识讲解观察图 7.3-1 可以发现：在这 12 组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数 X 的均值 3.5 附近波动，且重复掷 300 次的样本均值波动幅度明显小于重复 60 次的事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随
5、机性，它围绕随机变量的均值波动随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值如果 X 是一个离散型随机变量，将 X 进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？即 E(Xb)和 E(aX)（其中 a，b 为常数）分别与 E(X)有怎样的关系？探究二、知识讲解你能给出证明吗？二、知识讲解例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲 A，B，C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表 7.3-3 所示表 7.3-30.80.60.4歌曲猜对的概率100020003000获
6、得的公益基金额/元ABC规则如下：按照 A，B，C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额 X 的分布列及均值二、知识讲解分析：根据规则，公益基金总额 X 的可能取值有四种情况：猜错 A，获得 0 元基金；猜对 A 而猜错 B，获得 1000 元基金；猜对 A 和 B 而猜错 C，获得 3000元基金；A，B，C 全部猜对，获得 6000 元基金因此 X 是一个离散型随机变量利用独立条件下的乘法公式可求分布列如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？二、知识讲解例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为
7、0.25，有大洪水的概率为0.01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60 000 元，遇到小洪水时要损失 10 000 元为保护设备，有以下 3 种方案：方案1运走设备，搬运费为 3 800 元；方案2建保护围墙，建设费为 2 000 元，但围墙只能防小洪水；方案3不采取措施工地的领导该如何决策呢？二、知识讲解分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表 7.3-5 所示方案 2 和方案 3 的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案表 7.3-50.010.250.74概率方案1380038003800总损失/元大
8、洪水小洪水没有洪水天气状况方案2方案3620002000200060000100000二、知识讲解7.3.2离散型随机变量的方差随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征问题2从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X 和 Y 的分布列如表 7.3-6 和表 7.3-7 所示表 7.3-67689XP0.240.090.320.28100.07表 7.3-77689XP0.22
9、0.070.380.30100.03二、知识讲解如何评价这两名同学的射击水平？通过计算可得，E(X)8，E(Y)8因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度图 7.3-2 和图 7.3-3 分别是 X 和 Y 的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于 8 环，即乙同学的射击成绩更稳定二、知识讲解PX6078 9 100.30.1图 7.3-20.20.4PY6078 9 100.30.1图 7.3-30.20.4 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？思考二、知识讲解我们知道，
10、样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？设离散型随机变量 X 的分布列如表 7.3-8 所示表 7.3-8x2x1xnXPp2p1pn二、知识讲解我们称二、知识讲解二、知识讲解离散型随机变量 X 加上一个常数 b，仅仅使 X 的值产生一个平移，不改变X 与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(Xb)D(X)而离散型随机变量 X 乘以一个常数 a，其方差变为原方差的 a2 倍，即D(aX)a2D(X)一般地，可以证明下面的结论成立：D(aXb)a2
11、D(X)离散型随机变量 X 加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量 X 乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？探究二、知识讲解二、知识讲解例6投资 A，B 两种股票，每股收益的分布列分别如表 7.3-9 和表 7.3-10 所示表 7.3-9 股票 A 收益的分布列10收益 X/元概率0.10.320.6表 7.3-10 股票 B 收益的分布列01收益 Y/元概率0.30.420.3（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下
12、，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低三、小结离散型随机变量的数字特征方差均值1已知随机变量 X 的分布列为四、练习（1）求 E(X)；（2）求 E(3X2)答案：（1）2.8；（2）10.42134XP0.30.10.40.150.1四、练习2抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得 1 分，求得分 X 的均值答案：0四、练习3甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在 1 h 内生产出的次品数分别为 X1，X2，其分布列分别为哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义答案：乙机床更好E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)乙机床次
13、品数的分布列01X2P0.30.520.2甲机床次品数的分布列12X1P0.30.230.100.44已知随机变量 X 的分布列为四、练习2134XP0.30.20.40.1四、练习5若随机变量 X 满足 P(Xc)1，其中 c 为常数，求 D(X)答案：0四、练习6甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差 X 和 Y（单位：cm）的分布列如下：先直观判断 X 和 Y 的分布哪一个离散程度大，再分别计算 X 和 Y 的方差，验证你的判断答案：甲班离散程度大D(X)1.2，D(Y)0.7，D(X)D(Y)甲班的目测误差分布列1201XP0.20.10.40.220.1乙班的目测误差分布列1201YP0.150.050.60.1520.05
