1、 7.3.1 离散型随机变量的均值 高二数学选择性必修 第三册 第七章 随机变量及其分布学习目标1.理解离散型随机变量均值的概念和含义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值;2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值;3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题.4.核心素养:数据分析、逻辑推理、数学运算。一、回顾旧知我们的可能取值为设离散型随机变量一般地,21nxxxX的概率取每一个值称ixX.,2,1,)(nipxXPii,的概率分布列为X.简称分布列Xx1x2xixnPP1P2PiPn2.两点分布列X01P1PP1.离散型随机变量的分布列 对
2、于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.二、探究新知1.问题1.甲、乙两名射击运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示.环数x78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2,10987,21nnnnn环的频率分别为环和环、环、射中次假设甲射箭.,43nnnn如何比较他们射箭水平的高低呢？为次射箭射中的平均环数甲n312478910.nnnnxnnnn 稳定于所以频率稳定于概率足够大时当xn,94.0103.092.081.07乙射中
3、环数的平均值为同理,65.82.0104.0925.0815.07甲射箭水平的高2.离散型随机变量的均值或期望的定义,的分布列如下表所示若离散型随机变量一般地X则称nnpxpxpxXE2211)(niiipx1,.X均值数学期为随机变量 的或数学期望简称为望期望XP1x2xnx1p2pnp 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量的平均水平.解：随机变量X服从两点分布:1.例1.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中的0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8.那么他罚球1次的得分X的均值是多少？三、巩固新知P(X=1)=0.8、P(X=
4、0)=0.2所以,E(X)=10.8+00.2=0.8即该运动员罚球1次的得分X 的均值是0.8.E(X)=p X10pp1-p一般地，如果随机变量X服从两点分布2.两点分布的期望 那么解:随机变量X的分布列为归纳求离散型随机变量均值的步骤:写出分布列;求出均值.3例2.随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子的点数X的均值.6,5,4,3,2,1,61)(kkXP1(1(23456)=)63.5E X 因此(1).随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2则E(X)=.2.44.变式训练1(2).随机变量X的分布列是0.2ba0.3P10974XE(X)=7.5,则a=b=.0.40.1(3
5、).一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中同时取2个.则其中含红球个 数的数学期望是 .1.24.变式训练15.随机变量的均值与样本均值的关系随机模拟的均值为掷出的点数掷一枚质地均匀的骰子.5.3,X观测出现的点数并次次各做次和重复重复这个试验,630060,分别绘制统计图样本均值根据观测值的平均数计算平均数,)(.均值随机变量的均值与样本在两组试验中观察图形如图所示,.有何联系与区别？,5.3 附近波动均值样本均值都在随机变量X.60300次的明显小于重复次的样本均值波动幅度重复掷它围绕而样本均值具有随机性确定的数随机变量的均值是一个,.随机变量的均值波动样本均值的波动加随着重
6、复试验次数的增,.幅度一般会越来越小的均值的均值去估算随机变量常用随机变量的观测值6.随机变量的均值的性质其进行平移或伸缩后将是一个离散型随机变量如果,XX分别与为常数其中和即均值会怎样变化),)()(?baaXEbXEnnpbxpbxpbxbXE)()()()(2211?)(有这样的关系XE的分布列为设X.,2,1,)(nipxXPii,义根据随机变量均值的定).()(XaEaXE112212()()nnnx px px pb pppbXE)(可以证明类似地,:,下面的结论成立一般地.)()(bXaEbaXE7.变式训练2(2)若 E(X)=4.5,则 E(X)=.E(XE(X)=.-4.5
7、05.8._)(,4.2)(,12)1(YEXEXY则若8.例3.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜 歌名猜对三首互独立猜对每首歌曲的歌名相某嘉宾参加猜歌名节目,.,表所示得相应的公益基金如下歌名的概率及猜对时获歌曲CBA歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000名才有只有猜对当前歌曲的歌的顺序猜按照规则如下,:CBA.的分布列及均值总额求嘉宾获得的公益基金资格猜下一首X解解:0,1000,3000,6000.X公益基金总额 的所有可能取值分别为,2.0)0(,XP则,32.04.08.0)1000(XP,288.06.06.08.0)3000(
8、XP.192.04.06.08.0)6000(XP.的分布列如下表所示X XP01000 3000 60002.032.0288.0192.00 0.2 1000 0.323000 0.28860(0)0 0.1922336E X 变式:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?若不同，那个大?9.例4.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水 时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费为3800元.方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能
9、防小洪水.方案3:不采取措施.工地的领导该如何决策呢?解:用 分别表示方案1,2,3的损失321,XXX采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.3800,1X即采用方案2,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000;没有大洪水时损失2000元,即.2000,620002，无大洪水有大洪水；X采用方案3,有.0,10000,600003，无洪水小洪水；有大洪水；X于是,3800)(1XE,2600)01.01(200001.062000)(2XE.310025.01000001.060000)(3XE 采用方案2的平均损失最小,因此可以选择方案2 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
10、2个黄球，每次取1个，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .310.变式训练3 统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元;如遇下雨可则损失4万元.6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式？11.变式训练4解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益X万元,则X的分布列为所以E(X)=100.6(-4)0.4=4.4所以商场应选择在商场外进行促销.X10-4P0.6 0.4对你不利!有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1,你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6,不输不赢这场赌博对你是否有利?11118(3)06236E X 12.变式训练5四、课堂小结1.离散型随机变量的均值或期望的定义 iniinnpxpxpxpxXE12211)(2.两点分布的期望3.随机变量的均值的性质.)()(bXaEbaXEPXE)(作业:课本P71 习题7.3 2,3,6题
