1、6.2 排列组合的综合应用之涂色问题创设情境 我们经常看到的中国地图、世界地图都是利用几种不同的颜色对各个省、市或者不同的国家进行着色，为了区分起见，相邻的区域涂成不同的颜色，这节课我们就来研究涂色与数学的关系.问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？探究新知解:按地图A,B,C,D四个区域依次分四步完成:第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种.问题：如图,要给地图A、B
2、、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？探究新知 一个圆被分成了2、3、4、5、6个扇形区域,可选四种不同颜色涂色，要求相邻涂不同颜色，分别有多少种不同的涂色方法？(图B）(图C)(图D)(图E）(图A)探究新知1.观察分析(1)图A，按要求显然有 43=12 种涂色方案.(3)图C，用间接法求解，假设4区域涂法依次为4、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形，故有433-24=84种涂色方案.(2)图B,显然有 432=432-12=24 种涂色方案.(4)对图D，类似于图C的解法，假设5个区域涂法
3、依次为4、3、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形.故有 434-84=240 种涂色方案.(5)对图E，类似于图D的解法，假设6区域涂法依次为4、3、3、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形.(图E）故有 435-240=732 种涂色方案.探究新知(图D)3(n113)13(nna1133nnna-=+-114 3nnnaa-=-2.猜想递推公式探究新知a2=233+43(3+1)3a3=)33(33223333-a4=33433a)33(33334433+a5=a6=)33(33445533-)33(33556633+22333a3.猜想归纳通项an3(1)3nn
4、na=+-(n2)所以 如果n个不同区域有m种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法?图2 M n M 6 M 5 M 4 M 3 M 2 M 1P4.归纳结论 如图，已知 P 是 n(n3)边形内的一点，它与n个顶点相连构成 n 个三角形，记为M1、M2、Mn，现取 m(m4)种颜色对这 n 个三角形涂色，每相邻的两个三角形的涂色不同，试求涂色的方案有多少种？故得递推公式为:11(1)nnnam ma-=-)3(n(1)(1)(1)nnnamm=-+-(n2，m4)通项：探究新知例1 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物.现有5种不同的
5、植物可供选择，则栽种方案有 _ 种.ABCDEFP4100解:因为 n=6,m=5,由公式得nnnmma)1()1()1(66)15()15()1(644=4100典例分析1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有_种不同着色方法.巩固练习2602.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两块 种不同的花，则不同的种法总数为()A.96 B.84 C.60 D.48ADBCB例2(2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种
6、颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法有_种.123452543172解:首先涂1区域有4种,再涂2,3,4,5区域还有3种颜色涂,可抽象如图.所以涂色总数:4444(1)(31)(31)4(22)72-+-=+=典例分析1.将5种颜色染 n 棱锥 的顶点，每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果过有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是_an=53n+(-1)n3巩固练习2.将m(m4)种颜色染n(n3)棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有n种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是an=_m(m-2)n+(-1)n(m-2)(n2，m3)nnnmma)1()1()1()2()2()1(nnnmmma1.环状涂色问题涂法总数公式:(其中 n为不同区域数,m为不同颜色数)(n3，m4)2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式:课堂小结
