1、五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化,1.(2019江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知两点A ,B ,直线l的方程为sin =3. (1)求A,B两点间的距离; (2)求点B到直线l的距离.,解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. (1)设极点为O.在OAB中,A ,B , 由余弦定理,得AB= = . (2)因为直线l的方程为sin =3, 则直线l过点 ,倾斜角为 . 又B ,所以点B到直线l的距离为(3 - )sin =2.,2.(2018江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin =2,曲线
2、C的方程为=4cos ,求 直线l被曲线C截得的弦长.,解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 因为曲线C的极坐标方程为=4cos , 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆, 因为直线l的极坐标方程为sin =2, 所以直线l过点(4,0),倾斜角为 , 设A(4,0), 则A为直线l与圆C的一个交点. 设另一个交点为B,则OAB= .,连接OB,因为OA为直径,所以OBA= , 所以AB=4cos =2 . 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 .,一题多解 把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x- y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C: (x
3、-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d= =1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 = 2 .,3.(2015江苏,21C,10分)已知圆C的极坐标方程为2+2 sin -4=0,求圆C的半径.,解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy. 圆C的极坐标方程为2+2 -4=0, 化简,得2+2sin -2cos -4=0. 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆C的半径为 .,考点二 参数方程与普通方程的互化,1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xO
4、y中,已知直线l的参数方程为 (t为参数), 曲线C的参数方程为 (s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.,解析 本题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,考查运算求解能力. 直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2 s), 从而点P到直线l的距离d= = . 当s= 时,dmin= . 因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值 .,2.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数), 椭圆C的参数方程为 (为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段
5、AB的长.,解析 椭圆C的普通方程为x2+ =1. 将直线l的参数方程 (t为参数)代入x2+ =1,得 + =1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=- . 所以AB=|t1-t2|= .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化,1.(2018北京理,10,5分)在极坐标系中,直线cos +sin =a(a0)与圆=2cos 相切,则a= .,答案 1+,解析 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化. 由 可将直线cos +sin =a化为x+y-a=0,将=2cos ,即2=2cos 化为x2+y2=2x,整 理成标准方程为(x-1)2+y2=
6、1. 又直线与圆相切,圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离d= =1,解得a=1 ,a0,a=1+ .,方法总结 这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为直角坐标方程,然后用平面几何知 识求解.,2.(2017北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则| AP|的最小值为 .,答案 1,解析 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化. 由2-2cos -4sin +4=0,得x2+y2-2x-4y+4=0, 即(x-1)2+(y-2)2=1, 圆心C(1,2),半径r=1, 结合图形可知|AP|的最小值为|PC|-r=2-1=1
7、.,3.(2017天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4cos +1=0与圆=2sin 的公共点的个数为 .,答案 2,解析 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化以及直线与圆的位置关系. 由4cos +1=0,得4 +1=0,即2 cos +2sin +1=0,根据极坐标与直角 坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为2 x+2y+1=0,同理可得圆的直角坐标方程为x2+ (y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离d= 1,所以直线与圆相交,因此直线与圆的公共点的个数为2.,4.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点 到直线(cos + sin )=6的距离为 .,答案 1,解析 由极坐
8、标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点 对应的直角坐标为(1, ),直 线(cos + sin )=6对应的直角坐标方程为x+ y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离 为 =1.,5.(2015重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos 2=4 ,则直线l与曲线C 的交点的极坐标为 .,答案 (2,),解析 直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x-2),故直线l与曲线C的交 点为(-2,0),对应极坐标为(2,).,6.(2015广东,14,5分)已知直线l的极坐标
9、方程为2sin = ,点A的极坐标为A ,则 点A到直线l的距离为 .,答案,解析 将直线l的极坐标方程2sin = 化为直角坐标方程为x-y+1=0. 由A 得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d= = .,7.(2019课标全国理,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B ,C ,D(2,),弧 , , 所在圆的圆心分别是(1,0), ,(1,),曲线M1是弧 ,曲线M2是弧 ,曲线M3是弧 . (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= ,求P的极坐标.,解析 本题考查极坐标的概念,求极坐标
10、方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求 解能力,以求极坐标方程、求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养. (1)由题设可得,弧 , , 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐 标方程为=-2cos . (2)设P(,),由题设及(1)知 若0 ,则2cos = ,解得= ; 若 ,则2sin = ,解得= 或= ; 若 ,则-2cos = ,解得= . 综上,P的极坐标为 或 或 或 .,8.(2019课标全国理,22,10分)在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在
11、曲线C:=4sin 上,直 线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当0= 时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.,解析 本题考查极坐标方程、曲线方程等知识,考查学生在极坐标系下的运算能力,体现了数 学运算的核心素养. (1)因为M(0,0)在C上,当0= 时,0=4sin =2 . 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 设Q(,)为l上除P的任意一点. 在RtOPQ中,cos =|OP|=2. 经检验,点P 在曲线cos =2上. 所以,l的极坐标方程为cos =2. (2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|c
12、os =4cos , 即=4cos . 因为P在线段OM上,且APOM, 故的取值范围是 .,所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos , .,思路分析 (1)将0= 代入=4sin 求得0.由0可求得|OP|,从而求得l的极坐标方程.(2)设点P (,),用,表示出RtAOP中的边角关系,从而求出P点轨迹的极坐标方程.,解题关键 熟练应用极坐标系中的,是解题关键.,9.(2018课标全国文,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若
13、C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两 个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 =2,故k=- 或k=0. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
14、 当k=- 时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 =2,故k=0或k= . 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k= 时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=- |x|+2.,方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧: (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的 形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程. (2)巧借两角和、差公式转化成sin()或cos()的结构形式,进而利用互化公式得到直角 坐标方程. (3)将直角坐标方程中的x转
15、化为cos ,将y转化为sin ,即可得到其极坐标方程.,10.(2017课标全国理,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方 程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,解析 本题考查极坐标方程及其应用. (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1= . 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0). 因此C2的
16、直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S= |OA|Bsin AOB =4cos =2 2+ . 当=- 时,S取得最大值2+ . 所以OAB面积的最大值为2+ .,11.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参 数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C
17、3上,求a.,解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. (2分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0. (4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0, (8分) 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. 所以a=1. (10分),12.(2015湖南,16(
18、2),12分)已知直线l: (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos . (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点M的直角坐标为(5, ),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.,解析 (1)=2cos 等价于2=2cos . 将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. (2)将 代入,得t2+5 t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何 意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.,考点二 参数方程与普通方程的互化,1.(2019北京理改
19、编,3,5分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),则点(1,0)到直线l的距离 是 .,答案,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式;通过两种方程之间的互 相转化考查学生转化思想的应用,通过距离公式的应用考查数学运算的核心素养. 由 (t为参数)消去t得4x-3y+2=0, 则点(1,0)到直线l的距离为 = .,2.(2019天津理,12,5分)设aR,直线ax-y+2=0和圆 (为参数)相切,则a的值为 .,答案,解析 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系,通过直线与圆相切的条件考查了数学运 算和数形结合的思想方法,体现了直观想象、数学运算的核心素养. 解法一:由圆
20、的参数方程知圆心为(2,1),半径r=2,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等 于半径,即 =2,解得a= . 解法二:如图,由圆的参数方程消去,得普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,设圆心为C,圆与y轴切于 点D,易知直线过定点A(0,2),设CAD=,易求得tan =2,则a= =- =- = .,3.(2018天津理,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线 (t为参数)与该圆相交 于A,B两点,则ABC的面积为 .,答案,解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系. 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=0.圆心C
21、(1,0)到直线的距 离d= = ,|AB|=2 = , 所以ABC的面积为 |AB|d= = .,方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解.,4.(2016天津理,14,5分)设抛物线 (t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A 作l的垂线,垂足为B.设C ,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3 ,则p 的值为 .,答案,解析 由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0),则|FC|=3p,所以|AF|=|AB|= p,A(p, p)(不妨设A 在第一象限).易证EFCEAB,所以 = = =2,所以 = ,所以SAC
22、E= SAFC= p p= p2=3 ,所以p= .,5.(2015湖北,16,5分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为 (t为参数),l与C相交于A,B 两点,则|AB|= .,答案 2,解析 直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4. 由 得x2= ,即x= , 则|AB|= |xA-xB|= =2 .,6.(2019课标全国文,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数). 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l
23、的极坐标方程为2cos + sin +11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值.,解析 本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,通过整 体运算消参数和利用三角函数求最值,考查了数学运算能力和转化的思想方法,核心素养体现 了数学运算. (1)因为-1 1,且x2+ = + =1, 所以C的直角坐标方程为x2+ =1(x-1). l的直角坐标方程为2x+ y+11=0. (2)由(1)可设C的参数方程为 (为参数,-).C上的点到l的距离为 = . 当=- 时,4cos +11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为 . 注:因为在
24、教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “求C和l的直角坐标方程”更改为“求C的普通方程和l的直角坐标方程”更合适.,思路分析 (1)观察、分析参数方程的特征,应通过平方运算消去参数t;直线l的极坐标方程只 需直接利用互化公式即可求解;(2)由点到直线的距离公式,利用椭圆的参数方程转化为三角函 数求最值.,7.(2018课标全国理,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数), 直线l的参数方程为 (t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.,解析 (1)曲线C的直角
25、坐标方程为 + =1. 当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan , 当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0. 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内, 所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由得t1+t2=- , 故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2. 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.,方法总结 以角为
26、参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系:sin2+cos2=1将参数方程 化为普通方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或点差法进行整体运算求解.,8.(2018课标全国理,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为 (为参 数),过点(0,- )且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系. (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当= 时,l与O交于两点. 当 时,记tan =k,则l的方程为y=kx- .l与O交于两点当且仅当 1,即 或 . 综上,的取值范
27、围是 . (2)l的参数方程为 . 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP= ,且tA,tB满足t2-2 tsin +1=0. 于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是,.,易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情形. 求倾斜角时要注意斜率是否存在.求其取值范围的一般步骤: (1)求出斜率k=tan 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角的取值范围.,9.(2017课标全国理,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 (t为参数),直 线l2的参数方程为 (m为参数).设l1与l2
28、的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交 点,求M的极径.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程. (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y= (x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 联立 得cos -sin =2(cos +sin ). 故tan =-
29、 ,从而cos2= ,sin2= . 代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为 .,10.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数), 直线l的参数方程为 (t为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化,考查学生的运算求解能力. (1)曲线C的普通方程为 +y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由 解得 或 从而C与l的交点坐标为(3,0), . (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos
30、 ,sin )到l的距离d= . 当a-4时,d的最大值为 . 由题设得 = ,所以a=8; 当a-4时,d的最大值为 . 由题设得 = ,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16.,思路分析 (1)利用同角三角函数的平方关系将曲线C的参数方程化成普通方程,利用加减消 元法将直线的参数方程化成普通方程,将这两个普通方程联立即可求出交点坐标;(2)利用点到 直线的距离公式求出距离,再利用三角函数的相关知识表示出其最大值,进而列方程求解.,方法总结 将参数方程转化为普通方程的方法:消去参数,若参数为“”,一般利用sin2+cos2 =1消去;若参数为“t”,一般直接代入消参即可.,C组 教师专用
31、题组,考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化,1.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2 =cos 和sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系, 则曲线C1和C2交点的直角坐标为 .,答案 (1,1),解析 由sin2=cos 得2sin2=cos ,其直角坐标方程为y2=x,sin =1的直角坐标方程为y=1, 由 得C1和C2的交点为(1,1).,2.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆=4sin 和直线sin =a相交于A,B两点.若 AOB是等边三角形,则a的值
32、为 .,答案 3,解析 圆的直角坐标方程为x2+y2=4y, 直线的直角坐标方程为y=a, 因为AOB为等边三角形, 则A ,代入圆的方程得 +a2=4a, 故a=3.,评析 本题考查极坐标系下直线与圆的方程,一般转化为直角坐标方程再处理相交问题.,3.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2-4cos =0(0,02),则直线l与曲线 C的公共点的极径= .,答案,解析 直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,故直线l与曲线C的交点坐标 为(1,2).故该点的极径
33、= = .,4.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.,解析 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0. (3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R). 设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0. (6分) 于是1+2=-12
34、cos ,12=11. |AB|=|1-2|= = . (8分) 由|AB|= 得cos2= ,tan = . (9分) 所以l的斜率为 或- . (10分),5.(2015课标全国,23,10分)(选修44:坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为 极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2 cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0
35、. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和 . (2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0. 因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2 cos ,). 所以|AB|=|2sin -2 cos |=4 . 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4.,6.(2014课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程 为=2cos , . (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的 坐标.,解析
36、 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为 (t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t= ,t= . 故D的直角坐标为 ,即 .,评析 本题考查了极坐标化直角坐标,普通方程化参数方程的方法,考查了数形结合思想.,7.(2013辽宁理,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分 别为=4sin ,cos =2 . (1)求C1
37、与C2交点的极坐标; (2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 (tR为 参数),求a,b的值.,解析 (1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4, 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0. 解 得 所以C1与C2交点的极坐标为 , . (6分) 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0. 由参数方程可得y= x- +1, 所以 解得a=-1,b=2. (10分),考点二 参数方程与普通方程的互化,1.(2014安徽改编,4,5分)以平面直角坐标
38、系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是 (t为参数),圆C的极坐标方 程是=4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为 .,答案 2,解析 由 消去t得x-y-4=0, C:=4cos 2=4cos ,C:x2+y2=4x, 即(x-2)2+y2=4,C(2,0),r=2. 点C到直线l的距离d= = , 所求弦长=2 =2 .,2.(2014北京改编,3,5分)曲线 (为参数)的对称中心坐标是 .,答案 (-1,2),解析 曲线 (为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线 的对称中心,
39、所以对称中心的坐标为(-1,2).,3.(2014湖北,16,5分)已知曲线C1的参数方程是 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,则C1与C2交点的直角坐标为 .,答案 ( ,1 ),解析 曲线C1为射线y= x(x0).曲线C2为圆x2+y2=4.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴 于点Q.因为tanPOQ= ,所以POQ=30,又OP=2,所以C1与C2的交点P的直角坐标为( , 1).,评析 本题考查了参数方程和极坐标方程.容易忽视x0,误认为C1为直线y= x.,4.(2013湖南理,9,5分)在平面直角坐标系xOy中
40、,若直线l: (t为参数)过椭圆C: (为参数)的右顶点,则常数a的值为 .,答案 3,解析 由直线l的参数方程 (t为参数)消去参数t得直线l的普通方程:y=x-a,由椭圆的参 数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以3-a=0,即a=3.,5.(2013陕西理,15C,5分)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为 .,答案 (为参数),解析 圆的半径为 ,记圆心为C ,连CP,则PCx=2,故xP= + cos 2=cos2, yP= sin 2=sin cos (为参数).,6.(2016课标全国理,23,10分)在直角坐标系xOy中
41、,曲线C1的参数方程为 (为参 数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin =2 . (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,解析 (1)C1的普通方程为 +y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0. (5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为( cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2 的距离d()的最小值,d()= = . (8分) 当且仅当=2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为 . (10分
42、),方法总结 利用圆的参数方程表示出圆上的动点,从而利用三角函数求其最值,这样可以简化 运算过程.,7.(2014课标全国,23,10分)已知曲线C: + =1,直线l: (t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.,解析 (1)曲线C的参数方程为 (为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为 d= |4cos +3sin -6|. 则|PA|= = |5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan = . 当sin(+
43、)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为 . 当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为 .,8.(2014辽宁,23,10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲 线C. (1)写出C的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.,解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得 由 + =1得x2+ =1, 即曲线C的方程为x2+ =1. 故C的参数方程为 (t为参数). (2)由 解得
44、或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为 ,所求直线斜率为k= ,于是所求直线方程 为y-1= , 化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3, 即= .,9.(2014福建,21(2),7分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的参数方程为 (为参数). (1)求直线l和圆C的普通方程; (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.,解析 (1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C的普通方程为x2+y2=16. (2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d= 4, 解得-2 a2 .,10.(2014江苏,21C,10
45、分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参 数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.,解析 将直线l的参数方程 (t为参数)代入抛物线方程y2=4x,得 =4 , 解得t1=0,t2=-8 . 所以AB=|t1-t2|=8 .,11.(2013江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C 的参数方程为 (为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐 标.,解析 因为直线l的参数方程为 (t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通 方程为2x-y-2=0. 同理得到
46、曲线C的普通方程为y2=2x. 联立得方程组 解得公共点的坐标为(2,2), .,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019南京三模,21B)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos =1,以极点O为坐标原 点,极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为 (其中为 参数,r0),若直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=3,求r的值.,解析 直线l的直角坐标方程为x- y-2=0. (2分) 曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=r2. (4分) 圆心C(2,-1)到直线l的距离d= = , (6分) 所以r= = . (10分),2.(
47、2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学期初联考,21C)在极坐标系中,已知圆C经过 点P ,圆心为直线sin =- 与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.,解析 圆C的圆心为直线sin =- 与极轴的交点,在sin =- 中,令=0,得= 1, 圆C的圆心坐标为(1,0). (3分) 圆C经过点P , 半径PC= =1. (7分) 圆C经过极点.圆C的极坐标方程为=2cos . (10分),3.(2019苏中、苏北七市第二次调研,21B)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数方程为 (为参数).设直线l与椭圆C交于A,B两点,求 线段AB的长.,解析 由题意得,直线l的普通方程为x-y-1=0, 椭圆C的普通方程为 +y2=1. (4分) 联立,解得A(0,-1),B . (8分) 所以AB= = . (10分),4.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,21B)在极坐标系中,已知直线l:sin =0,在直角坐 标系(原点与极点重合,x轴正方向为极轴的正方向)中,曲线C的参数方程为 (t为参数), 设l与C交于A,B两点,求AB的长.,解析 直线sin =0的直角坐标方程为y= x. (2分) 曲线 的普通方程为y2-x2=1. (4分) 易得直线与曲线的交点为A 和B
