1、操作探究题操作探究题 操作探究题操作探究题类型一类型一 折叠型操作题折叠型操作题考点自主梳理与热身反馈 第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题类型二类型二 平移和旋转型操作题平移和旋转型操作题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题类型三类型三 图形分割操作题
2、图形分割操作题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题第第3939讲讲 操作探究题操作探究题专题五专题五几何探究问题几何探究问题几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明
3、能力考查的必然体现,重在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能力的同时,
4、考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题.常用的解题策略:1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等;2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路;3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等;4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找
5、相似,转比例.题型2题型1题型3题型1与全等三角形有关的探究典例1(2016山东泰安)(1)已知:ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且DEC=DCE,若A=60(如图),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图),(1)的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若A=60”改为“若A=90”,其他条件不变,则 的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)题型2题型1题型3【解析】(1)作DFBC交AC于F,由已知得ABC和ADF均为等边三角形,则AD=DF,利用AAS证明DBE
6、 CFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DFBC交AC的延长线于点F,同(1)证出DBE CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DFBC交AC于点F,同(1)得:DBE CFD,得出EB=DF,证出ADF是等腰直角三角形,得出DF=AD,即可得出结果.题型2题型1题型3【答案】(1)作DFBC交AC于点F,如图1所示.ADF=ABC,AFD=ACB,FDC=DCE,ABC是等腰三角形,A=60,ABC是等边三角形,ABC=ACB=60,DBE=120,ADF=AFD=60=A,ADF是等边三角形,DFC=120,AD=DF,DEC=DCE,FDC=DEC,ED=CD,DBE C
7、FD(AAS),EB=DF,EB=AD.题型2题型1题型3(2)EB=AD成立.理由如下:作DFBC交AC的延长线于点F,如图2所示.由(1)得AD=DF,FDC=ECD,FDC=DEC,ED=CD,又DBE=DFC=60,DBE CFD(AAS),EB=DF,EB=AD.题型2题型1题型3理由如下:作DFBC交AC于点F,如图3所示:同(1)得:DBE CFD(AAS),EB=DF,ABC是等腰直角三角形,DFBC,ADF是等腰直角三角形,题型2题型1题型3题型2与相似三角形有关的探究典例2(2016内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB=90,AC=4,BC=3,E,F
8、分别是AC,AB边上的点,连接EF.(1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3SEDF,求AE的长.(2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MFCA.试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;求EF的长.题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3【答案】(1)如图1,ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,EFAB,AEF DEF,SAEF SDEF,S四边形ECBF=3SEDF,SABC=4SAEF,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3,题型2题型1
9、题型3(2)四边形AEMF为菱形.理由如下:如图2,ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点M处,AE=EM,AF=MF,AFE=MFE,MFAC,AEF=MFE,AEF=AFE,AE=AF,AE=EM=MF=AF,四边形AEMF为菱形.连接AM交EF于点O,如图2,设AE=x,则EM=x,CE=4-x,四边形AEMF为菱形,EMAB,CMECBA,题型2题型1题型3(3)如图3,作FHBC于点H,ECFH,NCENHF,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,FHAC,BFHBAC,题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型3与全等和相似三角形有
10、关的探究典例3(2016湖北黄石)在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:ADFABC.(2)如图2,在(1)的条件下,若=45,求证:DE2=BD2+CE2.(3)如图3,若=45,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.题型2题型1题型3【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质及勾股定理.(1)根据轴对称的性质可得DAE=FAE,AD=AF,再得出BAC=DAF,然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明;(2)根据轴对称的性质可得EF
11、=DE,AD=AF,再求出BAD=CAF,然后利用边角边证明ABD和ACF全等,根据全等三角形性质可得CF=BD,ACF=ABD,然后求出ECF=90,最后利用勾股定理证明即可;(3)作点D关于AE的对称点F,连接AF,EF,CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出BAD=CAF,再结合(2)即可.题型2题型1题型3【答案】(1)D,F关于直线AE对称,DE=EF,DAE=FAE=,DAF=2=BAC,又AB=AC,AD=AF,ADFABC.(2)DAF=2=BAC,DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF,又AB=AC,AD=AF,BAD CAF,B
12、D=CF,且ACF=ABD=45,即ECF=90,在ECF中,结合已证明的得DE2=BD2+CE2.题型2题型1题型3(3)解法1:将CAE顺时针旋转90得BAF,连接DF,如图2所示.BF=CE,AF=AE,ACE=135=ABF,ABC=45,FBD=90,即DF2=BF2+BD2,由旋转的性质,BAF=CAE,BAF+FAC=CAE+FAC=2,DAF=FAE-DAE=2-=,AF=AE,又AD为公共边,DAF DAE,即DF=DE.将代入式,得DE2=BD2+CE2.题型2题型1题型3解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示.AD=AF,DE=EF,DAE
13、=FAE=,DAF=2=BAC,即DAF-DAC=BAC-DAC,BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF.BAD CAF,BD=CF,且ACF=ABD=45,DCF=DCA+ACF=90,CFCE,EF2=FC2+CE2,将代入得DE2=BD2+CE2.213456781.(1)问题发现如图1,ABC和ADE均为等边三角形,点D在BC的延长线上,连接CE,请填空:ACE的度数为;线段AC,CD,CE之间的数量关系为.(2)拓展探究如图2,ABC和ADE均为等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点D在边BC的延长线上,连接CE,请判断ACE的度数及线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由
14、.(3)问题解决如图3,在RtABC中,AC=3,BC=5,ACB=90,若点P满足PA=PB,APB=90,请直接写出线段PC的长度.21345678解:(1)ABC为等边三角形,AB=AC=BC,BAC=60,ADE为等边三角形,AD=AE,DAE=60,BAC+DAC=DAE+DAC,即BAD=CAE,ABD ACE(SAS),ACE=B=60.ABD ACE,BD=CE,BC=BD-CD=CE-CD,AC=CE-CD.21345678(2)ABC和ADE均为等腰直角三角形,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ACE ABD(SAS),ACE=B=45,BD=CE,即BC+CD=CE
15、,BC=CE-CD,213456782134567821345678如图(2),点C,P在AB的异侧时,过点A作ADPC于点D,ACB=APB=90,A,B,P,C四点共圆,ACD=ABC=45,APD=ABC,213456782.如图1,在平行四边形ABCD中,AEBC于点E,E恰为BC的中点,tan B=2.(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EFDP于点F,连接AF,求证:DF-EF=AF.21345678解:(1)如图1,AEBC,AEB=90,tan B=2,=2,AE=2BE,E为BC的中点,BC=2BE,AE=BC.四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,A
16、D=AE.(2)如图,作AMAF,交DP于点M,则MAF=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AEBC,AEAD,DAE=MAF=90,DAM=FAE=90-MAE.AEBC,EFDP,AEP=EFP=90,21345678AEF+PEF=90,PEF+FPE=90,AEF=FPE,ADBC,ADM=FPE,ADM=AEF,在ADM和AEF中,AM=AF,DM=EF,DF-EF=MF.213456783.(2016武汉)在ABC中,P为AB上一点.(1)如图1,若ACP=B,求证:AC2=APAB.(2)若M为CP的中点,AC=2.如图2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的长;如图3
17、,若ABC=45,A=BMP=60,直接写出BP的长.21345678(2)如图,取AP中点G,连接MG.设AG=x,则PG=x,BG=3-x.21345678213456784.(2016北京)在等边ABC中,(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.依题意将图2补全;小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证明P
18、A=PM,只需证APM是等边三角形;想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证ANP PCM;想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).21345678解:(1)AP=AQ,APQ=AQP,APB=AQC,ABC是等边三角形,B=C=60,BAP=CAQ=20,AQB=APQ=BAP+B=80.21345678(2)如图所示.如图,AP=AQ,APQ=AQP,APB=AQC,ABC是等边三角形,B=C=60,BAP=CAQ,点Q关于直线AC的对称点为M,A
19、Q=AM,QAC=MAC,MAC=BAP,BAP+PAC=MAC+CAP=60,PAM=60,AP=AQ,AP=AM,APM是等边三角形,PA=PM.213456785.(2016贵阳)(1)阅读理解:如图,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是;(2)问题解决:如图,在ABC中,D是BC边上的中点,DEDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:B
20、E+CFEF;(3)问题拓展:如图,在四边形ABCD中,B+D=180,CB=CD,BCD=140,以C为顶点作一个70角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.21345678解:(1)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图所示:AD是BC边上的中线,BD=CD,BDE CDA(SAS),BE=AC=6,在ABE中,由三角形的三边关系得:AB-BEAEAB+BE,10-6AE10+6,即4AE16,2ADEM,BE+CFEF.21345678(3)BE+DF=EF.理由如下:延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示:A
21、BC+D=180,NBC+ABC=180,NBC=D,NBC FDC(SAS),CN=CF,NCB=FCD,BCD=140,ECF=70,BCE+FCD=70,ECN=70=ECF,21345678NCE FCE(SAS),EN=EF,BE+BN=EN,BE+DF=EF.213456786.(2016福建莆田)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为xa,xb,xc(1)模拟探究:如图,正方形EFGH为AB
22、C的BC边上的内接正方形,(3)拓展延伸:若ABC为锐角三角形,bc,请判断xb与xc的大小,并说明理由.21345678解:(1)正方形EFGH中,EHFG,AEHABC,ADBC,21345678213456787.如图,ABC中,ADBC,DEAC于E,AFBE于H,交DE于F,(1)求证:ADFBCE;(2)若AB=AC,求证:DF=EF;(3)在(2)的条件下,若EAF=30,直接写出cos EBC的值.21345678解:(1)如图,ADBC,ADC=90,即1+EDC=90,DEAC,DEC=90,EDC+C=90,1=C,AHBE,SAH+ASH=90,又2+BSD=90,BS
23、D=ASH,SAH=2,ADFBCE.21345678(2)如图2,DCE=ACD,RtCDERtCAD,21345678提示:如图3,设EF=x,则DF=EF=x,在RtAEF中,EAF=30,AF=2EF=2x,AE=213456788.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC,BD交于点O,点E在AB的延长线上,连接CE,AFCE,AF分别交线段CE,边BC,对角线BD于点F,G,H(点F不与点C,E重合).(1)当点F是线段CE的中点时,求GF的长;(2)设BE=x,OH=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的自变量的取值范围;(3)当BHG是等腰三角形时,求BE的长.2
24、1345678解:(1)AB=8,BC=6,AC=10,AFCE,AFC=AFE=90,点F是线段CE的中点,CF=EF.在ACF和AEF中,AE=AC=10,BE=2.CGF=AGB,GFC=ABG,FCG=GAB,CBE=ABG,CBEABG,2134567821345678(2)如图所示,作BMAF,ONAF,垂足分别为点M,N,AFCE,ONBMCE,ONHBMH,ANOAFC,BMGCFG,21345678(3)BHG是等腰三角形,当BH=BG时,AHDGHB,即BE=3;当GH=GB时,得出AHD=ADH,AH=AD=6,设BG=t,则AB2+BG2=AG2,即82+t2=(6+t
25、)2,21345678当HG=HB时,得出HGB=HBG=OCB,即点F与点C重合(不符合题意).综上所述,当BHG为等腰三角形时,BE=3或BE=.专题二 规律探究题规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题其解题思维过程是：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性数字或代数式的猜想例 1：(2013 年浙江湖州)如图 Z2-1 将连续正整数按以下规律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是_图 Z2-1解析：观察规律，得第一行第一
26、列的数是：1；第二行第二列的数是：514；第三行第三列的数是：13148；第四行第四列的数是：2514812；第 n 行第 n 列的数是：148124(n1)14123(n1)12n(n1)第七行第七列的数是：127(71)85.答案：85名师点评：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题目要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题解决本题的关键是得到对角线上数字之间的关系探索循环规律的归纳猜想例 2：(2014 年山东莱芜)如图 Z2-2，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知ABC60，OA1.现将菱形 OABC沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60，连续翻转
27、2014 次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，B4，则 B2014 的坐标为_.图 Z2-2解析：如图Z2-3，把图形再做一些旋转，发现每翻转6 次，图形向右平移 4.3354，B4 坐标为(2,0)，335421342，即 B2014 的坐标是(1342,0)图 Z2-3答案：(1342,0)20146名师点评：本题是以循环节为特征的规律探索性问题解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式如果以 m 次为一个循环，那么第 n 次情形与nm 的余数次情形是相同的，整除时与最后一次情形相同探索图形排列规律的归纳猜想例 3：(2014 年广东
28、茂名)用边长为 1 的小正方形摆成如图Z2-4 所示的塔状图形，按此规律，第 4 次所摆图形的周长是_，第 n 次所摆图形的周长是_(用关于 n 的代数式表示)图 Z2-4解析：第 1 次图形的周长为 441，第 2 次图形的周长为 842，第 3 次图形的周长为 1243，依此规律，第 n 次图形的周长为 4n.当 n4 时，第4 次图形的周长为1644.答案：164n名师点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出图形周长增加规律，并用含有 n 的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值探索图形性质规律的归纳猜想例
29、4：(2014 年广东珠海)如图 Z2-5，在等腰直角三角形 OAA1中，OAA190，OA1，以 OA1 为直角边作等腰直角三角形OA1A2，以 OA2 为直角边作等腰直角三角形 OA2A3，则 OA6的长度为_图 Z2-5答案：8名师点评：本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理求直角三角形一边的方法根据勾股定理，可先求出OA1的长，再求出交OA2，总结规律，然后根据规律求 OA6的长本题还可以变成一道找更大变化规律的探索题，比如求第 2014个等腰直角三角形 OA2013 A2014 的斜边长专题二 计算求值题例1（2018深圳）计算：|2|2cos60+（）1（）0题型一实数的
30、混合运算163解：原式=22 +61 =6121（2018随州）计算：|1|+cos30（）2+（3.14）0题组训练解：原式=1+2 4+1 =1+34+1 =112123322（2018茂名）计算：（1）2018+|（3.14）0解：原式=1+2 1 =822223（2018北京）计算：（3）0+4sin45 +|1|834（2018张家界）计算：0112(31)()2cos452-+-+-例2（2018茂名）先化简，再求值：x（x2）+（x+1）2，其中x=1题型二整式的运算解：原式=x22x+x2+2x+1=2x2+1，当x=1时，原式=2+1=35（2018泉州）先化简，再求值：（x
31、+2）24x（x+1），其中x=题组训练解：原式=x2+4x+44x24x=3x2+4，当x=时，原式=6+4=2226（2018湖北襄阳）先化简，再求值：（2x+1）（2x1）（x+1）（3x2），其中x=解：原式=4x21（3x2+3x2x2）=4x213x2x+2=x2x+1当x=时，原式=（1）2（1）+1=32 +2=53 21-221-22227（2018菏泽）已知4x=3y，求代数式（x2y）2（xy）（x+y）2y2的值解：原式=x24xy+4y2（x2y2）2y2=4xy+3y2=y（4x3y）4x=3y，原式=0例3（2018遵义）先化简（），再从1，2，3中选取一个适当的
32、数代入求值题型三分式的化简求值解：原式=，a20，a+20，a2，当a=1时，原式=3242aaa+-42a-224aa-2442aaa+-224aa-2(2)22(2)(2)aaaaa+-+-22aa+-8（2018莆田）先化简，再求值：，其中x=1解：原式=（x+2）=，当x=1时，原式=122xx+-214xx-12x+22xx+-1(2)(2)xxx-+-22xx+-12xx-32x-312-9（2018盐城）先化简，再求（+）的值，其中x=3解：原式=，当x=3时，原式=12xx-22444xxx-+12x+2(2)(2)1(2)2xxxx+-+12x-10（2018江西）先化简，再
33、求值：（+），其中x=6解：原式=，当x=6时，原式=23x+13x-29xx-9(3)(3)(3)(3)xxxxxx-+-+-9xx-696-1211（2018苏州）先化简，再求值：（1 ），其中x=解：原式=，当x=时，原式=2221xxxx-+21x+32(1)1(1)1xxx xx-+-1xx-3313-333-巩固练习1计算：2计算：解答题20139(1)()2-+-+-01120162()2sin453 解：原式=3+31+1=6解：原式=1 +（31）1+2 =1 +3+=4222223计算：4已知x=，y=，求x2+2xy+y2的值201()132sin60(4)2 32+32
34、解：原式=（2）2（1）+2 +1，=4 +1+1，=6解：x=+2，y=2，x+y=+2+2=2 ，x2+2xy+y2=（x+y）2=（2 ）2=12333333333325化简：6化简：22144(1)11xxxx13()(2)22xxxx解：原式=解：原式=21xx-2(1)(1)(2)xxx+-12xx+-2(1)2xx+2(1)(1)xxx+-11xx+-7先化简，再求值：，其中8先化简，再求值：，其中m=解：原式=当x=时，原式=解：原式=当m=时，原式=22224(2)42xxxxxx22x=+22211(1)11mmmmmm 322(2)xxxx x+-12x-22+122222=+-2(1)(1)(1)mmm-+-1(1)mm m+-1m333
