1、5.5.2 简单的三角恒等变换第五章 三角函数情境导学三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并例例1、解解222cossin,cos,tan.222 试试用用表表示示2 是是的的二二倍倍角角2cos212sin,2,2 在在公公式式中中以以 代代替替以以代代替替2cos12sin 2 21cossin22 半角公式的推导2cos22cos1,2,2 在在
2、公公式式中中以以 代代替替以以代代替替2cos2cos12 21coscos22 得得21costan21cos 一、知识梳理【半角公式】刚才的结果还可以表示为：以上三个公式称为半角公式，符号由所在象限决定【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角；1 加或者减余弦，根号分母都是 2.【问题】与 之间有什么关系？【解答】求证：sin1costan21cossin2sinsin1cos22tan2sincossincos222，所以得证证法一：因为2sinsincossin222tan21coscoscos22，求证：sin1costan21cossin又 即22sincos1，2sin(1co
3、s)(1cos)，所以 得证sin1cos1cossin，证法二：因为22sincossinsin222tan1cos22coscos22，因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点归纳总结归纳总结【万能公式】万能公式是半角的正切与一倍角之间的互换公式：有了万能公式，只需要知道一个角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.不同的三角函数不仅有结构形式的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方
4、面的差异，所以在进行三角恒等变换时，首先要寻找各个式子里的角的关系，再来选取适当的公式，这是三角恒等变换的特点思考1根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整：sin()sin()；sin()sin()；cos()cos()；cos()cos().积化和差与和差化积公式的推导2sin cos 2cos sin 2cos cos 2sin sin 思考2由上述这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式，请你试一试写出这四个公式：sin cos ；cos sin ；cos cos ；sin sin .例例2、求证、求证解解(1)sin(+)sin cos +cos sin sin(-)sin
5、 cos -cos sin 两式两式相加，得相加，得sin(+)+sin(-)2sin cos 11 sincossinsin;22 sinsin2sincos.22 1sincossinsin2(2)由由(1)可得可得sin(+)+sin(-)2sin cos 设设+=，-=把把，的值代入的值代入，即，即得得,22sinsin2sincos22为第四象限角，解方法一180270，方法二180270，sin 0，练习2：已知一个等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的底角的正切.【解】设等腰三角形的顶角为，底角为，则有由题意知 ，所以所以 追问1什么样结构的函数便于求周期，最大值和最小值等
6、性质？一个角的一种三角函数的形式，如 、等形式sin()yAxcos()yAx追问2前面学过的哪个公式可以实现和差的形式化为 的形式？和（差）角公式逆用即可实现这种转化辅助角公式.cos3sin14值的周期，最大值和最小）求函数、（例xxyxxycos3sin解：xxcos23sin2123sincos3cossin2xx3sin2x.2-22，最小值，最大值所以，所求的周期为（2）求函数 的周期，最大值和最小值：解：（2）解法一：设3sin4cossin()yxxAx则3sin4cossin coscos sinyxxAxAx于是cos3sin4AA，3sin4cosyxx于是 所以2222
7、cossin25AA，225A，取A5，则34cossin55，由 可知，所求周期为 ，最大值为5，最小值为55sin()yx2（2）求函数 的周期，最大值和最小值：3sin4cosyxx解：解法二：设343sin4cos(sincos)xxAxxAA令 解得22341AA，225A，不妨取A5，则343sin4cos5(sincos)55xxxx令cos3sin4AA，故所求周期为 ，最大值为5，最小值为52则5(sin coscos sin)5sin()yxxx，变形的目标：变形的目标：化成一角一函数的结构化成一角一函数的结构变形的策略：变形的策略：引进一个引进一个“辅助角辅助角”思考2请
8、写出把asin xbcos x化成Asin(x)形式的过程.答asin xbcos x将同角的弦函数的和差化为将同角的弦函数的和差化为“一个角一个角”的的“一个名一个名”的弦函数的弦函数.ab22ba ABCDOQP 例5、如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记POC，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.找出S与之间的函数关系;由得出的函数关系,求S的最大值.解解在在RtOBC中中,OB=cos,BC=sin 在在RtOAD中中,360tanOADAsi
9、n333333BCDAOAsin33cosOAOBAB设矩形设矩形ABCD的面积为的面积为S,则则BCABSsinsin33cos2sin33cossin2cos1632sin21632cos632sin21632cos212sin23316362sin3150,23666 2,626由于得所以当即时6363-31S最大通过三角变换把形如通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数的函数转化为转化为形如形如y=Asin(+)的函数的函数,从而使问题得到简化。从而使问题得到简化。过程蕴含了化归思想过程蕴含了化归思想.34.2cos)23sin(3 6的最小值、求函数例xxy辅助角辅助角求函
10、数递增区间求函数递增区间.例7、已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；解f(x)2cos x(sin xcos x)1因此，函数f(x)的最小正周期为.(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.反思与感悟从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如yasin xbcos x的函数转化为形如yAsin(x)的函数，从而使问题得到简化，这个BDA4.求函数f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值.解3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 607sin(x20)，所以f(x)max7.5.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos 2的值等于 .由(cos sin)2(cos sin)22，cos 2cos2sin2对变换过程中体现的换元、逆向使用公式对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用等数学思想方法加深认识，学会灵活运用 小结小结
