1、21.5 反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 反比例函数的图象和性质1.会用描点法画出反比例函数；（重点）2.掌握反比例函数图象的特征；（重点）3.理解并掌握反比例函数的性质.（难点）学习目标导入新课导入新课 当容积S=1000 时,时间t与每小时水流量v之间的关系是：tv1000（t0）问题1 某游泳池容积为1000m3,现在需要灌满它，每小时水流量v(m3/h)与时间t(h)之间有怎样的函数关系呢？你能在平面直角坐标系中形象的画出这个图形吗？1什么是反比例函数？2反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k 是非零常数.（2）xy=k一般地，形如 y=(k是常数,k 0)的函数
2、叫做反比例函数kx3还记得一次函数的图像与性质吗？导入新课导入新课回顾与思考位置增减性位置增减性y=kx(k是常数，k0）直线（经过原点）一、三象限从左到右上升y随x的增大而增大二、四象限 从左到右下降y随x的增大而减小k(k是数,k0)x 0y=x反比例函数4.如何画函数的图象？函数图象画法 描点法列表描点连线想一想：正比例函数y=kx(k0)的图像的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？反比例函数的图像与性质又如何呢？反比例函数 的图象一讲授新课讲授新课问题：如何画反比例函数 的图象？6yx 解析：画出函数的图象一般分为kyx列表描点连线解（1）列表如下应注意1.自变量x需要取多
3、少值?为什么?2.取值时要注意什么?y=x6y=x616233241.551.261-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1（2）根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）;（3）如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图象123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算,又便于对
4、称性描点;2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;3.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；注意要点（1）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点?6yx6yx（2）反比例函数 的图象在哪两个象限,由什么确定？kyxxyxy双曲线 轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形OO相同点：相同点：1.两支曲线构成；2.与坐标轴不相交；3.图象自身关于原点成中心对称；4.图象自身是轴对称图形。不同点：不同点：的图象在第一、三象限；的图象在第二、四象限。6yx6yx归纳总结第一、三象限第二、
5、四象限 形状:反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称 反比例函数 的图象为双曲线.位置：由k决定：当k0时,两支曲线分别位于_内;当k0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。当k0时，在每一支曲线上，y随x的增大而减小。xy06yx归纳总结例例3 3：已知反比例函数y=.（1）如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值.（2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围.xk12 解：（1）因为函数图象经过点（-3,5），代入函数表达式，得 解方程得，k=-7.(2)根据题意，有 2k10，解不等式得，3125k.21k1.函数 的图象，在每一象限内 y随x的增大
6、而_.y=x52.在双曲线 的一支上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 _.m-2xy=m 2增大练一练典例精析例4：已知反比例函数 的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A(),B(5,y2),C(-8,y3),则y1与y2、y3的大小关系为 ()A.y1 y2 y3 B.y1 y2 y1 y3 D.不能确定xky 1,72yC解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k 0,可判断 y10，y2 0，y3 0.由概念可知,当k 0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以y2y10y3.已知两点（，），（，）在函数 的图象上，当 0时，下列结论正确的是 （）A.0 B.0 C
7、.0 D.01x1y2x2y5yx 1x2x1y2y1y2y2y1y2y1y变式拓展变式拓展反比例函数解析式中k的几何意义三合作探究1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：4yx4yx 4 4S1=S2S1=S2=k12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-4-55xyOQP2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=-kyxoPQS1S2由前面的探究过程，可以猜想:若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩
8、形 AOBP=|k|.xky 合理猜想yxOPS我们就k0的情况给出证明：设点P的坐标为(a,b)AB点P(a,b)在函数 的图象上，kyx ，即ab=kkbaS矩形 AOBP=PBPA=-ab=-ab=-k；若点P在第二象限，则a0若点P在第四象限，则a0，b0的情况.方法归纳 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBQ=推理：QAO与QBO的面积和k的关系是SQAO=SQBO=Q对于反比例函数 ，xky AB2k|k|反比例函数的面积不变性yxO典例精析例5.如图，在函数 的图像上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作
9、垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（）1(0)xy=xyxOA.SA SBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASCSBABCC 例6：如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PAx轴于A.若POA的面积为6,则k=.=kyxyxOPAk=yx12 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k0.归纳当堂练习当堂练习 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是_xmy22m2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_;图象位于二、四象限的有_.10.3107(1);(2);(3);(4)2100yyyyxxxx（1）（）（2
10、）（）（3）(4)3.如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ()xky A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(-1,3)xyCO4.已知反比例函数 (k为常数，k0)的图象经过点A(2，3)(1)求这个函数的表达式；xky 解：(1)反比例函数 (k为常数，k0)的图象经 过点 A(2，3)，把点A的坐标代入表达式，得 ，解得k=6，这个函数的表达式为 xky 23kxy6解：反比例函数的表达式为，6=xy 分别把点B，C的坐标代入，得(1)6=66，则 点B不在该函数图象上；32=6，则点C在该函数图象上xy6(2)判断点B(-1
11、，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由._2.5的取值范围是则，而增大的增大随，的图像在其每一象限内若函数mxyxmy212121212121_6),6(),4()3(_6),6(),4()2(_6),4(),6(1.6yyxyyyyyxyyyyyxyyy上，则在函数已知点上，则在函数已知点上，则在函数）已知点（7如图：点A在双曲线 上，AB丄x轴于B，且AOB的面积SAOB=2，则k=_xky m2-48.下列关于反比例函数 的三个结论：(1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.4）；(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)它的图象在二、四象限内.其
12、中正确的是 （填序号）xy12(1)(3)9.如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在第几象限内，y随x的增大而_增大增大10.如图所示，反比例函数 （k0）的图象上有一点A,AB x轴交y轴于点B，ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（）A.B.C.D.xky xy21xy1xy2xy41yxOABC11.已知k0,则函数 y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是 ()xy0 0 xy0 0 xy0 0 xy0 0(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)Dxk拓展训练拓展训练yxOAyxOByxOCyxOD12.若点 在函数 （x0）的图象上，则它的图象大致是（）),(00yx
13、xky 200yxB13.已知反比例函数的图象的一支如图所示(1)判断k是正数还是负数；(2)求这个反比例函数的表达式；(3)补画这个反比例函数图象的另一支解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以k是负数(2)设反比例函数的表达式为 将(-4，2)代入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为:(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略xky.xy8课堂小结课堂小结反比例函数的图象形状双曲线位置画法当k0时，两支曲线分别位于第一、三象限内当k0时，两支曲线分别位于第二、四象限内描点法：列表、描点、连线反比例函数的性质性质反比例函数图象中比例系数k的几何意义当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而减小.当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大.
