1、第 章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题 第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题 题型分类突破 栏目导航 课时分层训练 定点问题 ( 对应学生用书第 151 页 ) ( 2 0 1 8 郑州第二次质量预测 ) 已知动圆 M 恒过点 ( 0 , 1 ) ，且与直线 y 1相切 ( 1 ) 求圆心 M 的轨迹方程； ( 2 ) 动直线 l 过点 P (0 ， 2) ，且与点 M 的轨迹交于 A ， B 两点，点 C 与点 B关于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点 解 ( 1 ) 由题意，得点 M 与点 ( 0 , 1 ) 的距离始终等于点 M 到直线 y 1 的距离，由抛物线定义知
2、圆心 M 的轨迹为以点 ( 0 , 1 ) 为焦点，直线 y 1 为准线的抛物线，则p2 1 ， p 2. 圆心 M 的轨迹方程为 x2 4 y . ( 2 ) 证明： 由题知，直线 l 的斜率存在， 设直线 l： y kx 2 ， A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 则 C ( x2， y2) ， 联立?x2 4 y ，y kx 2 ，得 x2 4 kx 8 0 ， ?x1 x2 4 k ，x1x2 8.kACy1 y2x1 x2x214x224x1 x2x1 x24， 则直线 AC 的方程为 y y1x1 x24( x x1) ， 即 y y1x1 x24( x x1)
3、 x1 x24x x1? x1 x2?4x214x 1 x 24x x 1 x 24. x 1 x 2 8 ， y x 1 x 24x x 1 x 24x 1 x 24x 2 ， 故直线 AC 恒过定点 ( 0 , 2 ) 规律方法 1. 圆锥曲线中定点问题的两种解法 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数作为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 . 特殊到一般法：根据动点和动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 . 2. 求直线方程过定点问题，要把直线方程表示出来，一般表示成点斜式或截距式 . 跟踪训练 ( 2 0 1 8 呼和浩特一调 ) 已知椭圆x2a2
4、y2b2 1( a b 0) 的离心率 e 63，直线 y bx 2 与圆 x2 y2 2 相切 ( 1 ) 求椭圆的方程； ( 2 ) 已 知定点 E ( 1 , 0 ) ，若直线 y kx 2( k 0) 与椭圆相交于 C ， D 两点，试判断是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过定点 E ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 . 【导学号 ： 7 9 1 4 0 3 0 9 】 解 ( 1 ) 直线 l： y bx 2 与圆 x2 y2 2 相切 2b2 1 2 ， b2 1. 椭圆的离心率 e 63， e2c2a2 a2 1a2 ?632， a2 3 ， 所求椭圆的方程是x23 y2 1.
