1、华师大版数学八上12 计算计算(a+b)(a+b)(a-b(a-b)=a=a2 2-ab+ab-ab+ab-b-b2 2=a=a2 2-b-b2 2 观察原式观察原式与结果，你发与结果，你发现了什么规律？现了什么规律？两数和与两数和与这这两数差的积，等于这两数的平方差这两数差的积，等于这两数的平方差这个公式也叫个公式也叫。abab 如图：在边长为如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长的大正方形的一角剪去一个边长为为b的小正方形。的小正方形。（1）图中的红色部分部分面积是）图中的红色部分部分面积是_22ba （2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？）你能否将红色部分拼成一个完整的
2、长方形图案吗？)(baba 你能从你能从这个游这个游戏中得戏中得到一个到一个怎样的怎样的等式？等式？你拼出的长方形的面积是你拼出的长方形的面积是_a aa ab bb b 公式中的公式中的a a、b b可以是任可以是任何代数式；何代数式；结果本来有四项，合并结果本来有四项，合并同类项后只剩两项。公式可以同类项后只剩两项。公式可以倒过来用。倒过来用。公式可以用图示解释。公式可以用图示解释。a ab ba-ba-b1、两数和乘以这两数的差两数和乘以这两数的差公式：公式：(ab)(ab)=a b 两数和与它们的差的积，等于这两数的两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差平方差。条件：条件：二项式二项
3、式二项式；二项式；两个二项式中，有一项两个二项式中，有一项完全相同，完全相同，另一项另一项互为相反数的项。互为相反数的项。结论：结论：两项的两项的平方差平方差；(完全相同项完全相同项)2(互为相反项互为相反项)2（）（）（）（）两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 求同存异平方差，全靠求同存异平方差，全靠符号分两家。同平方，异平符号分两家。同平方，异平方，再把同方减异方。方，再把同方减异方。求同存异平方差，全靠求同存异平方差，全靠符号分两家。同平方，异平符号分两家。同平方，异平方，再把同方减异方。方，再把同方减异方。（a+b)(a-b)ab最后结果最
4、后结果（y+3)(y-3)(a+3b)(a-3b)(1-5b)(1+5b)(ab+2)(ab-2)22ba 你能用平方差公式直接计算下列各式吗？你能用平方差公式直接计算下列各式吗？解释运用解释运用 解决问题解决问题例例1 1 判断下列各式哪些符合平方差公式的特点？判断下列各式哪些符合平方差公式的特点？(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(-x-y)(x+y)(-x-y)(x-y)(-x-y)(x-y)(-x-y)(x-y)(-x+y)(x-y)(-x+y)解：解：符合，不符合。符合，不符合。两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差(1)(b
5、+2a)(2a-b)(2)(-x+2y)(-x-2y)运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：分析：(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2分析：(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y222bababa22bababa上面各式可以看作是哪两项（或数）的和与差的积？(+)()(-)例例2 2 利用乘法公式计算利用乘法公式计算 (3m+2n)(3m-2n)(3m+2n)(3m-2n)(b(b2 2+3a+3a2 2)(3a)(3a2 2-b-b2 2)(-4a-1)(4a-1)(-4a-1)(4a-1)2yx212yx21解：解：
6、=(=()2 2-(-()2 2=9m=9m2 2-4n-4n2 2(+(+)(-)(-)两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 求同存异平方差，全靠求同存异平方差，全靠符号分两家。同平方，异平符号分两家。同平方，异平方，再把同方减异方。方，再把同方减异方。求同存异平方差，全靠求同存异平方差，全靠符号分两家。同平方，异平符号分两家。同平方，异平方，再把同方减异方。方，再把同方减异方。华东师大版八年级上册数学华东师大版八年级上册数学（第（第2课时）课时）知识回顾知识回顾 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 求
7、同存异平方差，全靠求同存异平方差，全靠符号分两家。同平方，异平符号分两家。同平方，异平方，再把同方减异方。方，再把同方减异方。（四）反馈练习（四）反馈练习(-4a-1)(-4a+1)解：解：(-4a-l)(-4a+l)(-4a-l)(-4a+l)=（-4a+1-4a+1）（）（-4a-1-4a-1）=(-4a)=(-4a)2 2-l-l =16a =16a2 2-1-1你认为这个还是平方差公式吗？你认为这个还是平方差公式吗？在式子在式子(-3a+2b)()的括号内填的括号内填 入怎样的式子才能用平方差公式计入怎样的式子才能用平方差公式计 算？算？看谁想得快看谁想得快想得全想得全牛刀小试：牛刀小
8、试：运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：；22()()33xyxy.（6）（1）（2）(1)(1)xyxy（3）(23)(32)abba（4）(25)(25)bb（5）2 0 0 11 9 9 99 9 81 0 0 2例例1 1 利用乘法公式计算利用乘法公式计算 (y+2)(y(y+2)(y2 2+4)(y-2)+4)(y-2)199819982002 2002 199.7199.7200.3 200.3 解：解：原式原式=(y+2)(y-2)(y=(y+2)(y-2)(y2 2+4)+4)=(y =(y2 2-4)(y-4)(y2 2+4)+4)=(y=(y2 2)2 2-4-42 2
9、=y=y4 4-16 -16 例例1 1 利用乘法公式计算利用乘法公式计算 (y+2)(y(y+2)(y2 2+4)(y-2)+4)(y-2)199819982002 2002 199.7199.7200.3 200.3 解：解：原式原式=(2000-2)(2000+2)=(2000-2)(2000+2)=2000 =20002 2-2-22 2=4000000-4=4000000-4=3999996 =3999996 原式原式=(200-0.3)(200+0.3)=(200-0.3)(200+0.3)=200=2002 2-0.3-0.32 2=40000-0.09=40000-0.09=3
10、9999.91 =39999.91 例例2 2 化简化简 2x 2x2 2-(x+y)(x-y)(x-(x+y)(x-y)(x2 2-y-y2 2)-x)-x2 2(x(x2 2-2y-2y2 2)解：解：原式原式=2x=2x2 2-(x-(x2 2-y-y2 2)(x)(x2 2-y-y2 2)-x)-x2 2(x(x2 2-2y-2y2 2)=(x=(x2 2+y+y2 2)(x)(x2 2-y-y2 2)-x)-x2 2(x(x2 2-2y-2y2 2)=x=x4 4-y-y4 4-x-x4 4+2x+2x2 2y y2 2 =2x=2x2 2y y2 2-y-y4 4 (2+1)(2(
11、2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)+1)(2(22n2n+1)+1)的值是的值是()()A.4A.42n2n-1 B.2-1 B.22 2 -1 C.2-1 C.22n2n-1 D.2-1 D.2n-1n-12n2n原式原式=(2-1)(2+1)(2=(2-1)(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)+1)(2(22n2n+1)+1)=(2=(22 2-1)(2-1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)+1)(2(22n2n+1)+1)=(2=(24 4-1)(2-1)(24 4+1)+1)(2(22n2n+1)+1)=(2=(22n2n-1)(2-1)(22
12、n2n+1)+1)=2=24n4n-1 -1 =4=42n2n-1 -1 华东师大版八年级上册数学华东师大版八年级上册数学（第（第3课时）课时）知识回顾知识回顾 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 计算计算(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+ab+ab+ab+ab+b+b2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)乘方的意义乘方的意义多项式乘法多项式乘法合并同类项合并同类项特点：特点：左边：左边：a a、b b两数的和的平方两数的和的平方.右边：右边：三项；三项；符号均为正；符号均为正；两数的
13、平方和两数的平方和 加上它们的积的两倍。加上它们的积的两倍。=+=+a ab ba ab b=_=_ _(ab)2a22abb2图形变换二图形变换二:(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 两数和两数和(差差)的平方的平方,等于它们的平方和加上等于它们的平方和加上(减去减去)它们乘积的它们乘积的2 2倍这个公式也叫倍这个公式也叫.多项式多项式a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做叫做。公式中的公式中的a a、b b可表示任意代数式；可表示任意代数式；公式可以倒用。公式可以倒用。注意：注意：完全平方公式完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2（a-
14、b)2=a2-2ab+b2 口诀口诀：首平方，尾平方，首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首尾两倍在中央。例例 计算计算 (2a+b)(2a+b)2 2 23243yx23243yx22323243243yyxx解解:(2a+b)(2a+b)2 2=4a=4a2 2+4ab+b+4ab+b2 2 =(2a)=(2a)2 22294169yxyx+22ab+22ab+b+b2 2计算：计算：(a+b+c)(a+b+c)2 2好好想想好好想想练习练习1.运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1)(x+6)2;(2)(y-5)2;(3)(-2x+5)2;(4)(x-y)2.2.下面各式的计算错在哪
15、里下面各式的计算错在哪里?应当怎样改应当怎样改正正?(1)(a+b)2=a2+b2;(2)(a b)2=a2 b2.灵活运用灵活运用：1、如果、如果4x2Mxy9y2是一个完全是一个完全平方式，那么的值为（）平方式，那么的值为（）A.72 B.36 C.12 D.12D2、计算、计算(11xy)(11xy)(11xy)2的结果是（）的结果是（）A.22xy2y2 B.121x222xyC.2y222xy D.22xyA拓拓展展应应用用：、若多项式、若多项式4x21加上一个单项式后加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，则加上的单成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是项式可以是_.4x或或
16、4x4、观察下列各式：、观察下列各式：(n为正整数为正整数)(x1)(x1)=x21(x1)(x2x1)=x31(x1)(x3x2x1)=x41根据前面各式的规律可得：根据前面各式的规律可得：(x1)(xnxn1x1)=_xn11已知实数x,y满足(x+y)2=2，(x-y)2=3求（1）x2+y2 (2)xy 的值变式练习变式练习已知实数a,b满足a+b=3，ab=5求（1）a2+b2 (2)(a-b)2 的值 两数和两数和(差差)的平方的平方,等于它们的平方和加上等于它们的平方和加上(减去减去)它们乘积的它们乘积的2 2倍这个公式也叫倍这个公式也叫.多项式多项式a a2 22ab+b2ab
17、+b2 2叫做叫做。前平方，后平方，前平方，后平方，2 2倍倍乘积在中央；同号加，异号乘积在中央；同号加，异号减，符号添在于减，符号添在于2 2倍前倍前。华东师大版八年级上册数学华东师大版八年级上册数学（第（第4课时）课时）知识回顾知识回顾 基础训练基础训练：、下列各式成立的是（）、下列各式成立的是（）A.(ab)2=(ba)2 B.(xy)2=x2y2C.D.(2xy)2=4x22xyy222241)21(bababaA2、计算、计算(a2b)2(a2b)2的结果是（）的结果是（）2a2 B.4b2 C.2(a24b2)D.2(a24b2)D3、下列多项式不是、下列多项式不是完全平方式完全平
18、方式的是（的是（）A.x24x4B.9a26abb2C.4t212t9D.mm241A4、填空：、填空：(1)a2b2_=(ab)2;(2)(8y)2=_;(3)(ab)2=_;(4)(4)(m2n)2=_.2ab6416yy2a22abb2m24mn4n25、下列计算错误的是（）、下列计算错误的是（）A.(x1)(x2x1)=x31B.(x2)2=x24x4C.(x1)(1x)=x21D.(x1)2=x22x1C填空：填空：(2a+1)(2a+1)2 2=4a=4a2 2+()+1+()+1(3a+)(3a+)2 2=9a=9a2 2+()+256+()+256(-1)(-1)2 2=16a
19、=16a4 4-()+()-()+()()()2 2=16x=16x2 2-4x+()-4x+()思考：思考：（a+b）与（）与（-a-b）相等吗？）相等吗？（a-b）与（）与（b-a）相等吗？）相等吗？（a-b）与）与a-b 相等吗？为什么？相等吗？为什么？2222222例例1 1 计算计算 1991992 2 100210022 2解解:1991992 2=(200-1)=(200-1)2 2=200=2002 2-2-22002001+11+12 2=40000-400+1=40000-400+1=39601=39601 100210022 2=(1000+2)=(1000+2)2 2=
20、1000=10002 2+2+2100010002+22+22 2=1000000+4000+4=1000000+4000+4=1004004=1004004 添括号时添括号时,如果括号前面如果括号前面是是正正号号,括到括号里的各项都括到括号里的各项都不变不变号号;如果括号前面是如果括号前面是负负号号,括到括号里的各项都括到括号里的各项都改变改变符号符号.a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b c.a+b+c=a+(b+c);a b c =a (b+c).例例2 运用乘法公式计算运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a-b-c)2.解解:(1)(x+2y
21、-3)(x-2y+3)=x+(2y 3)x-(2y-3)=x2-(2y-3)2 =x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a-b-c)2(3)=(a-b)-c 2(4)=(a-b)2-2(a-b)c+c2(5)=a2-2ab+b2-2ac+2bc+c2(6)=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac.练习练习1.在等号右边的括号内填上适当的项在等号右边的括号内填上适当的项:(1)a+b+c=a+();(2)a b c=a ();(3)a-b+c=a ();(4)a+b+c=a-().能否用去括号法则检查添括号是否正确?2.运用乘法公式计算运用乘法公式计算:(1)(a+2
22、b 1)2;(2)(2x+y+z)(2x y z)3.如图如图,一块直径为一块直径为a+b的圆形钢板的圆形钢板,从中挖去直径分别为从中挖去直径分别为a与与b的两个的两个圆圆,求剩下的钢板的面积求剩下的钢板的面积.例例3 3 计算计算 (z+2x)(z+2x)2 2(z-2x)(z-2x)2 2 解解:原式原式=(z+2x)(z-2x)=(z+2x)(z-2x)2 2=(z=(z2 2-4x-4x2 2)2 2=(z=(z2 2)2 2-2-2zz2 24x4x2 2+(4x+(4x2 2)2 2=z=z4 4-8x-8x2 2z z2 2+16x+16x4 42554255422xxxx原式2
23、25252xx2554255422xxxx=10 x=10 x1.1.先化简，再求值先化简，再求值 1,221221212222babababa其中2222222124141bababababa原式2222212)212(baba2222212ba44414ba 解解:当当a=2a=2，b=-1b=-1时时44414ba 441412414116443632、计算：、计算：)221()21()21)(1(2222yxyxyx)812)(212)(41)(2(2xxx(3)(ab)2(a2b2)2(ab)2(4)(2ab3c)(2ab3c)3.3.已知：已知：a+b=5a+b=5，ab=2ab=
24、2，求，求a a2 2+b+b2 2的值的值解解:当当a+b=5a+b=5，ab=2ab=2时时=a=a2 2+b+b2 2+2ab-2ab+2ab-2ab=(a+b)=(a+b)2 2-2ab-2aba a2 2+b+b2 2(a+b)(a+b)2 2-2ab-2ab=5=52 2-2-21 1=25-2=25-2=23=23 如果把条件如果把条件“a+b=5”“a+b=5”换成换成“a-b=5”“a-b=5”结果又如何？结果又如何？当当a-b=5a-b=5，ab=2ab=2时时=a=a2 2+b+b2 2-2ab+2ab-2ab+2ab=(a-b)=(a-b)2 2+2ab+2aba a2 2+b+b2 2(a-b)(a-b)2 2+2ab+2ab=5=52 2+2+21 1=25+2=25+2=27=27
