1、第十章概率-2-10.1随机事件的概率-4-知识梳理双基自测1.事件的分类 可能发生也可能不发生-5-知识梳理双基自测2.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的,称事件A出现的比例 为事件A出现的.(2)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用来估计概率P(A).频数 频率 频率fn(A)-6-知识梳理双基自测3.事件的关系与运算 发生 一定发生 BA(或AB)AB A=B 当且仅当事件A发生或事件B发生 AB(或A+B)-7-
2、知识梳理双基自测当且仅当事件A发生且事件B发生 AB(或AB)不可能 AB=不可能 必然事件 AB=,且AB=-8-知识梳理双基自测4.互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.5.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)=.(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)=,P(A)=.0P(A)1 1 0P(A)+P(B)1 1-P(B)2-9-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,
3、错误的打“”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.()-10-知识梳理双基自测234152.将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件 B.随机事件C.不可能事件D.无法确定B-11-知识梳理双基自测234153.一人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶D解析 事件“至少有一次中靶”包括“中
4、靶一次”和“中靶两次”两种情况,由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.-12-知识梳理双基自测23415A-13-知识梳理双基自测234155.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为.0.35 解析 因为事件A=抽到一等品,且P(A)=0.65,所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.-14-考点1考点2考点3例1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩
5、具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件(2)若从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有(填序号).至少有一个红球,都是红球至少有一个红球,都是白球至少有一个红球,至少有一个白球恰有一个红球,恰有两个红球D-15-考点1考点2考点3解析(1)根据互斥事件与对立事件的定义作答,AB=出现点数1或3,事件A,B不互斥更不对立;BC=,BC=(为必然事件),故事件B,C是对立事件.(2)
6、由互斥与对立的关系及定义知,不互斥,对立,不互斥,互斥不对立.-16-考点1考点2考点3思考如何判断随机事件之间的关系?解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.若两个事件所含的结果组成的集合的交集为空集,则这两事件互斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.-17-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:至少有1个白球与至
7、少有1个黄球;至少有1个黄球与都是黄球;恰有1个白球与恰有1个黄球;恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有()A.0组B.1组C.2组D.3组(2)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.则下列两个事件是互斥事件的有;是对立事件的有(填序号).A与C;B与E;B与C;C与E.B -18-考点1考点2考点3解析(1)中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰好1个白球和1个黄球,故两个事件不是互斥事件;中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和
8、1个黄球或2个黄球,故两个事件不互斥;中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球,故两个事件是同一事件;中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.-19-考点1考点2考点3(2)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故B与E还是对立事件.事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”“只订乙报纸”“
9、订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.由的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.-20-考点1考点2考点3例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:-21-考点1考点2考点3(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:
10、“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率?-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率.2.求随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率;(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法;树状图法.-24-考点1考点2考点3对点训练对点训练2如图所示,A地到火车站共有两
11、条路径L1和L2,现随机抽取100名从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:-25-考点1考点2考点3(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.-26-考点1考点2考点3解(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人.故用频率估计相应的概率为 =0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.(3)设事
12、件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),故乙应选择L2.例3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?思考求互斥事件概率的一般方法有哪些?-27-考点1考点2考点3-28-考
13、点1考点2考点3解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,故P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,故P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,故P(H)=1-P(G)=0.44.-29-考点1考点2考点3解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法:(1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求出,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求较简便.-30-考点1考点2考点3对点训练对点训练3某战士射击一次,问:(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?不够9环的概率为多少?
