高中数学所有公式大全总结(非常有用).pdf

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1、 高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2.德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B=. 3.包含关系 ABAABB= UU ABC BC A U AC B= U C ABR= 4集合 12 , n a aa的子集个数共有2n 个;真子集有2n1 个; 非空子集有2n 1 个;非空的真子集有2n2 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a=+; (2)顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a=+; (3)零点式 12 ( )

2、()()(0)f xa xxxxa=. 6.闭区间上的二次函数的最值最值 二次函数)0()( 2 +=acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在 a b x 2 =处 及区间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a0 时,若qp a b x, 2 =,则 minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a =; 若qp a b x, 2 =, maxmax ( )( ),( )f xf pf q=, minmin ( )( ),( )f xf pf q=. (2)当 a+=cbxaxxf恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c 或 2 0 40 a

3、 bac 上是增函数; 1212 ()()()0xxf xf x. (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ=. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ=. 注: 若 a0,p 是一个无理数,则 a p表示一个确定的实数上述有理指数 幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 17.指数式与对数式的互化式 log b a NbaN=(0,1,0)aaN. 18.对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a ,且1a ,0m ,且1m , 0N ). 推论 loglog m n a a n bb m =(0a ,且1a ,0m n ,且1m ,1

4、n , 0N ). 19对数的四则运算法则 若 a0,a1,M0,N0,则 (1)log ()loglog aaa MNMN=+; (2) logloglog aaa M MN N =; (3)loglog() n aa MnM nR=. 20.等差等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN=+=+; 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s + = 1 (1) 2 n n nad =+ 2 1 1 () 22 d nad n=+. 21. .等比等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q =; 其前 n 项的和公式为 1

5、 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q = = 22常见三角不等式 (1)若(0,) 2 x ,则sintanxxx (4)柯西不等式: 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR+ (5)bababa+. 44.最值定理(积定和最小积定和最小) 已知yx,都是正数,则有 (1)若积xy是定值p,则当yx =时和yx +有最小值p2; (2)若和yx +是定值s,则当yx =时积xy有最大值 2 4 1 s. 推广 已知Ryx,,则有xyyxyx2)()( 22 +=+ (1)若积 xy是定值,则当|yx 最大时,|yx +最大; 当|y

6、x 最小时,|yx +最小. (2)若和|yx +是定值,则当|yx 最大时, | xy最小; 当|yx 最小时, | xy最大. 45.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2)当01a 或0或0的参数方程是 cos sin xa yb = = . 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=焦半径公式 )( 2 1 c a xePF+=,)( 2 2 x c a ePF=. 椭圆的的内外部 (1)点 00

7、(,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的内部 22 00 22 1 xy ab +的外部 22 00 22 1 xy ab + . 56.双曲线双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的焦半径公式 2 1 | ()| a PFe x c =+, 2 2 | ()| a PFex c =. 双曲线的内外部 (1)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的内部 22 00 22 1 xy ab . (2)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的外部 22 00 22 1 xy

8、 ab ,焦 点在 x 轴上,0焦半径 0 2 p CFx=+. 过焦点弦长pxx p x p xCD+=+= 2121 22 . 58.直线与圆锥曲线相交的弦长公式弦长公式 2222 211212 (1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco=+=+=+ (弦端点 A),(),( 2211 yxByx,由方程 = += 0)y, x(F bkxy 消去 y 得到0 2 =+cbxax, 0 ,为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率). 59证明直线与直线的平行直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (

9、4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 证明直线与平面的平行直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 证明平面与平面平行平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 证明直线与直线的垂直直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 证明直线与直线与平面垂直平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

10、 (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 证明平面与平面的垂直平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 60.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平 行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 61.共共线线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 ),ab存在实数使 a=b PAB、 、三点共线三点共线|APABAPtAB= (1)OPt OAtOB=+ . |AB CDAB 、

11、CD 共线且ABCD、不共线ABtCD= 且ABCD、不共线. 62.共面共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a、b b 共面的 存在实数对 , x y,使 paxby=+ 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对, x y ,使 MPxMAyMB=+ , 或 对 空 间 任 一 定 点O , 有 序 实 数 对, x y, 使 OPOMxMAyMB=+ . 63.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足OPxOAyOBzOC=+ (xyzk+=) ,则当1k =时,对于空间任一点O,总有 P、A、B、C 四点共面; 当1k 时,若O平面 ABC,则

12、P、A、B、C 四点共面;若O平面 ABC,则 P、A、 B、C 四点不共面 C AB、 、 、D四点共面四点共面AD 与AB 、AC 共面ADxAByAC=+ (1)ODxy OAxOByOC=+ (O平面 ABC). 64.空间向量基本定理 如果三个向量 a a、b b、c c 不共面,那么对空间任一向量 p p,存在一个唯一的有 序实数组 x,y,z,使 p pxa ayb bzc c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的 三个有序实数 x,y,z,使OPxOAyOBzOC=+ . 65.向量的直角坐标运算 设a a 123 (,)a a a,b b

13、 123 ( ,)b b b 则 (1)a ab b 112233 (,)ab ab ab+; (2)a ab b 112233 (,)ab ab ab; (3)a a 123 (,)aaa (R); (4)a ab b 1 1223 3 aba ba b+; 设 A 111 ( ,)x y z,B 222 (,)xyz,则 ABOBOA= = 212121 (,)xx yy zz. 66空间的线线平行或垂直 设 111 ( ,)ax y z= r , 222 (,)bxyz= r ,则 a a|b b(0)ab b= rr rr 12 12 12 xx yy zz = = = ; ab rr

14、 0a b= r r 12121 2 0x xy yz z+=. 67.夹角公式 设a a 123 (,)a a a,b b 123 ( ,)b b b,则 cosa a,b b= 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb + + . 推论 2222222 1 1223 3123123 ()()()aba ba baaabbb+,此即三维柯西不等式. 68异面直线异面直线所成角 cos|cos,|a b= r r = 12121 2 222222 111222 | | | x xy yz za b abxyzxyz + = + r r rr (其中(090

15、x f,右侧0)( x f,则)( 0 xf是极大值; (2)如果在 0 x附近的左侧0)( x f,则)( 0 xf是极小值. 90.复数复数的相等,abicdiac bd+=+=.(, , ,a b c dR) 复数zabi=+的模(或绝对值)| z=|abi+= 22 ab+. 91.复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i+=+; ; (2)()()()()abicdiacbd i+=+; ; (3)()()()()abi cdiacbdbcad i+=+; ; (4) 2222 ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd + +=+ + . 92.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0axbxc+=, 若 2 40bac =,则 2 1,2 4 2 bbac x a =; 若 2 40bac =,则 12 2 b xx a = ; 若 2 40bac =,它在实数集R 内没有实数根;在复数集C内有且仅有 两个共轭复数根 2 2 (4) (40) 2 bbac i xbac a =.

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