1、高考大题增分专项三高考中的数列,-2-,从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差数列、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差数列或等比数列;求数列的通项及非等差数列、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题特点是试题的题型规范、解题方法可循、难度稳定在中档.,-3-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略一公式法对于等差数列、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例1(2017北京,文15)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b
2、1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.,-5-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练1在等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式.(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.,-6
3、-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例2在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列.(1)求a2,a3;,解(1)数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,an+1-3an=93n-1=3n+1.a2-3a1=9,a3-3a2=27.a2=12,a3=63.,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,题
4、型五,策略一,策略二,对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略一定义法 用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an-1=d(n2)和an+1-an=d,前者必须加上“n2”,否则n=1时a0无意义;用定义法证明一个数列是等比数列也常采用两个式子,-11-,题型一,题
5、型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例3已知数列an满足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求证:数列an+n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练3(2017全国,文17)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略二递推相减法对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差数列或等比的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出
6、n为n+1时的关系式,两关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例4已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的nN+都成立,其中m为常数,且m-1.(1)求证:数列an是等比数列;(2)记数列an的公比为q,设q=f(m),若数列bn满足(3)在(2)的条件下,设cn=bnbn+1,数列cn的前n项和为Tn,求证:Tn1.,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,证明(1)当n=1时,a1=S1=1.Sn=(m+1)-man,Sn-1=(m+1)-man-1(n2),
7、由-,得an=man-1-man(n2),即(m+1)an=man-1.a10,m0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列an的通项公式;,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,突破策略存在顺推法求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,则得到存在的结果.,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,例8已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否
8、存在,使得an为等差数列?并说明理由.(1)证明因为anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1.两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.(2)解由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,即an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,
9、对点训练8若an是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前的前n项和.(1)求an和Tn;(2)是否存在正整数m,n(1mn),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.,-36-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-37-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-38-,1.解决等差数列、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用;用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少差错.2.求数列的通项公式就是求出an与n的关系式,无论条件中的关系式含有哪些量,一般都需要通过消元、转化和化归的思想使之变为等差、等比数列.3.高考对数列求和的考查主要是:等差数列、等比数列的公式求和;能通过错位相减法转化为等比数列求和;裂项相消法求和;分组或合并后转化为等差数列、等比数列求和.,-39-,4.证明数列为等差数列或等比数列主要依据定义,尽管题目给出的条件多种多样,但一个总体目标是把条件转化成 与an的差或比为一定值.5.数列与不等式的综合问题(1)数列不等式的证明要把数列的求和与放缩法结合起来,灵活使用放缩法.(2)证明数列不等式也经常转化为数列和的最值问题,同时要注意比较法、放缩法、均值不等式的应用.,
