1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科一、选择题:本题共12小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021全国甲理1)设集合M=x|0x4,N=x|13x5,则MN=() A.x|0x13B.x|13x4C.x|4x5D.x|0x5命题意图题目考查交集运算,考查运算求解能力.解析B由交集的定义及图知MN=x13x0,乙:Sn是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件命题意图考查数列性质,充分必要条件,考查推理论证能力、抽象概括能力.解
2、析B当数列an满足q=10,a1=-1时,an=-1,Sn=-n,Sn不是递增数列;当Sn是递增数列时,n2时,an=Sn-Sn-10,q0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.8.(2021全国甲理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100,由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为(31.7
3、32)()A.346B.373C.446D.473命题意图考查解三角形,考查了学生的推理论证能力、数学运算能力、数学应用能力.解析B过C作CDBB于点D,过B作BEAA于点E(图略),由题意,CD=CB=100tan15,AE=BE=BA,AA-CC=AE+100=BA+100,在ABC中,由正弦定理得BCsinBAC=BAsinBCA,即100tan15sin75=BAsin45,BA=100tan15sin45sin75=100(3+1)273.2,AA-CC=BA+100=373.2373.9.(2021全国甲理9)若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.
4、55C.53D.153命题意图考查三角恒等变换,考查逻辑推理能力、数学运算能力.解析A由题意sin2cos2=cos2-sin,2sincos1-2sin2=cos2-sin,因为0,2,所以cos 0,所以2sin1-2sin2=12-sin,解得sin =14,则cos =1-142=154,所以tan =1515.10.(2021全国甲理10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.13B.25C.23D.45命题意图考查排列组合与古典概型,考查逻辑推理及数学运算能力.解析C将4个1和2个0随机排成一行的总的排法为C62=15种,其中2个0不相邻的排法为C52=10种
5、,所以2个0不相邻的概率为23.11.(2021全国甲理11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.212B.312C.24D.34命题意图考查空间几何体的体积,球与组合体的切接问题,考查空间想象及数学运算能力.解析AACBC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1平面ABC,在RtOO1C中,OO1=OC2-CO12=22,则三棱锥O-ABC的体积为13121122=212.【解题方法】利用直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点,确定截面圆的圆心,再根据球心与截面圆圆心的连线与
6、截面垂直,构造直角三角形,利用勾股定理求三棱锥的高后再求体积.12.(2021全国甲理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x1,2时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94B.-32C.74D.52命题意图考查函数的奇偶性、周期性,考查数学抽象、逻辑推理能力.解析Df(x+1)是奇函数,f(-x+1)=-f(x+1).f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).f(x+2)是偶函数,f(x+2)=f(2-x),-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶
7、函数.f(x+4)=f(x+2)+2=f-(x+2)+2=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(3)=f(1)=0.f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),f(0)=-f(2).当x1,2时,f(x)=ax2+b,由f(1)=0得a+b=0.f(0)+f(3)=6,f(0)=6,f(2)=-6.即4a+b=-6,a=-2,b=2,f92=f12=-f32=-2322+2=52.故选D.【解题方法】根据函数的奇偶性,求得函数为周期函数,并求出周期,根据特殊函数值列出关于a,b的方程组,并求出a,b,再利用周期性转化求得函数值.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20
8、分.13.(2021全国甲理13)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为.命题意图考查曲线的切线、函数的导数的几何意义,考查运算求解能力.解析5x-y+2=0由y=2x-1x+2,得y=5(x+2)2,则在点(-1,-3)处的切线的斜率为5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即5x-y+2=0.14.(2021全国甲理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若ac,则k=.命题意图考查平面向量的数量积的坐标运算,考查运算求解能力.解析-103ac,ac=0,即a(a+kb)=0,a2+kab=0,a=(3,1),b=(1,0),10+3k=0,解得k=-1
9、03.【解题方法】结合平面向量数量积与向量垂直的关系,利用方程思想求解.15.(2021全国甲理15)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为.命题意图考查椭圆的标准方程、几何性质,考查逻辑推理、数学运算能力.解析8由题意得a=4,b=2,c=23,则|PQ|=|F1F2|=43.|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,QF1QF2,即四边形PF1QF2为矩形.|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,|QF1|QF2|=12(|QF1|+|QF2
10、|)2-(|QF1|2+|QF2|2)=8,即四边形PF1QF2的面积为8.【解题方法】利用椭圆的定义,分析四边形的形状,结合直角三角形,利用勾股定理整体运算求解.16.(2021全国甲理16)已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-74f(x)-f430的最小正整数x为.命题意图考查三角函数性质及应用,考查数形结合、数学运算能力.解析2由图可知,f(x)的最小正周期T=431312-3=,=2.f1312=2,2cos136+=2,=-6+2k,kZ.f(x)=2cos2x-6.f43=f3=0,f-74=f4=2cos2-6=1.由(f(x)-1)(f
11、(x)-0)0,得f(x)1.结合图象可知,满足f(x)1的离y轴最近的正数区间为0,4,无整数;f(x)6.635.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.(12分)(2021全国甲理18)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列Sn是等差数列;a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.命题意图本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式,考查逻辑推理能力、数学的运算求解能力.证明若选设数列an的公差为d1,数列Sn的公差为d2.当nN*时,an0,d10,d20.
12、Sn=na1+n(n-1)d12=d12n2+a1-d12n.又Sn=S1+(n-1)d2,Sn=a1+d22(n-1)2+2a1d2(n-1)=d22n2+(2a1d2-2d22)n+d22-2a1d2+a1,d12=d22,a1-d12=2a1d2-2d22,d22-2a1d2+a1=0,d22=d12,d2=a1,即d1=2a1,a2=a1+d1=3a1.若选设等差数列an的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,则d=2a1,所以Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以Sn-Sn-1=na1-(n-1)a1=a1.所以Sn是首项为a1,公差为a
13、1的等差数列.若选设数列Sn的公差为d,则S2-S1=d,即a1+a2-a1=d.a2=3a1,4a1-a1=d,即d=a1,Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)a1=na1,即Sn=n2a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,a1=S1=a1,符合式子an=(2n-1)a1,an=(2n-1)a1,nN*,即数列an是等差数列.19.(12分)(2021全国甲理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE
14、;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?命题意图本题考查空间几何体中线线垂直、二面角的求法,考查直观想象与数学运算能力.证明(1)如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.E,M分别为AC,BC中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.(2)BFA1B1,BFAB,
15、AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,AC2=8,则ABBC.如图,以B为原点,BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).则EF=(1,-1,1),ED=(-1,t-1,2),设DB1=t,则D(0,t,2),0t2.则平面BB1C1C的法向量为m=(0,1,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0,EDn=0,即x-y+z=0,-x+(t-1)y+2z=0,n=(1+t,3,2-t).则cos=3(1+t)2+32+(2-t)2=
16、32t2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=12时二面角的余弦值最大,则B1D=12时二面角正弦值最小.20.(12分)(2021全国甲理20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OPOQ.已知点M(2,0),且M与l相切.(1)求C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与M相切.判断直线A2A1与M的位置关系,并说明理由.命题意图本题考查抛物线方程、直线与圆的位置关系,考查逻辑推理与数学运算能力.解(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p0,当x=1时,y2=2p,y=2p.OPOQ,2p=
17、1,即2p=1,抛物线的标准方程为y2=x,M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)设A1(a2,a),A2(b2,b),A3(c2,c).lA1A2:y-a=1a+b(x-a2),即x-(a+b)y+ab=0,直线A1A2与M相切,|2+ab|1+(a+b)2=1.lA1A3:y-a=1a+c(x-a2)x-(a+c)y+ac=0,直线A1A3与M相切,|2+ac|1+(a+c)2=1.b,c是方程|2+ax|1+(a+x)2=1,即(a2-1)x2+2ax-a2+3=0的两根.又lA2A3:x-(b+c)y+bc=0,圆心(2,0)到直线lA2A3的距离d=|2+bc|1+(b+c)2=2
18、+3-a2a2-11+-2aa2-12=|a2+1|a4+2a2+1=1.d与M的半径相等,即直线A2A3与M相切.21.(12分)(2021全国甲理21)已知a0且a1,函数f(x)=xaax(x0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性及函数交点问题,考查逻辑推理与数学运算能力.解(1)当a=2时,f(x)=x22x.f(x)=2x2x-2xln2x2(2x)2=x(2-xln2)2x=ln2x2ln2-x2x.当x0,2ln2时,f(x)0,f(x)单调递增,当x2ln2,+
19、时,f(x)0,f(x)单调递减.故f(x)在区间0,2ln2上单调递增,在区间2ln2,+上单调递减.(2)由题知方程f(x)=1在(0,+)有两个不相等的根.由f(x)=1得xa=ax,即aln x=xln a,即lnxx=lnaa.令g(x)=lnxx,g(x)=1-lnxx2,g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+)上单调递减.又x0时,g(x)-,g(e)=1e,g(1)=0,x+时,g(x)0.0lnaa1且ae.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)【选修44:坐标系与参数方程】(2021全国甲理
20、22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=22cos .(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足AP=2 AM,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.命题意图本题考查极坐标与参数方程、轨迹的参数方程,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力.解(1)由2=22cos ,得x2+y2=22x,即(x-2)2+y2=2.(2)设P(x,y),M(x0,y0),由AP=2 AM,得(x-1,y)=2(x0-1,y0),即x0=2x2+1-22,y0=2y2,又点M在C上,
21、所以22x-322+12+22y2=2,即(x+2-3)2+y2=4.则C1是以(3-2,0)为圆心,2为半径的圆,所以C1的参数方程为x=3-2+2cos,y=2sin,02.两圆的圆心分别为(2,0),(3-2,0),半径分别为2和2,两圆心的距离是3-22,半径之差为2-2,显然3-222-2,所以两圆内含,两圆没有公共点.23.(10分)【选修45:不等式选讲】(2021全国甲理23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范围.命题意图本题考查绝对值不等式,考查逻辑推理、数
22、学运算能力.解(1)f(x)=x-2,x2,2-x,x2;g(x)=-4,x-32,4x+2,-32x12,4,x12.(2)取临界状态,设Q(x,0),P12,4,令0-4x-12=1,解得x=-72,即过点P,Q的直线斜率是1.由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-a-72,即a112时,f(x+a)g(x)成立.所以a112,+.2021年全国甲卷理科数学查缺补漏表题型题号考查要点学科能力学科素养查缺补漏选择题1集合的基本运算(交集)运算求解能力数学运算2统计(频率分布直方图
23、)数据处理能力数据分析3复数的除法、乘法的运算运算求解能力数学运算4对数运算运算求解能力数学运算、数学建模5双曲线的性质运算求解能力逻辑推理、直观想象6几何体的三视图抽象概括能力、空间想象能力直观想象7等比数列通项公式及前n项和公式、充要条件推理论证能力逻辑推理8解三角形推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算、数学建模9二倍角公式运算求解能力数学运算10古典概型运算求解能力、抽象概括能力数学运算、数学抽象11三棱锥与外接球推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算12函数的性质、求函数值推理论证能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算填空题1
24、3曲线的切线、函数导数的几何意义运算求解能力数学运算14平面向量的数量积的应用运算求解能力数学运算15椭圆的标准方程、几何意义抽象概括能力、运算求解能力直观想象、数学运算16三角函数性质及应用推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力直观想象、数学运算解答题17频率、22列联表、独立性检验数据处理能力、运算求解能力数学运算、数据分析18递推数列、等差数列的基本量运算、证明推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算19直三棱柱几何特征、线面位置关系、二面角的求法推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、逻辑推理、数学运算20抛物线的简单几何性质、直线与圆的位置关系推理论证能力、运算求解能
25、力直观想象、逻辑推理、数学运算21应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值、函数的零点推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力数学抽象、逻辑推理22极坐标与参数方程运算求解能力直观想象、数学运算23不等式的解法、恒成立问题运算求解能力直观想象、逻辑推理【试卷评析】2021年全国甲卷理科数学,突出对基础知识(约占60%)以及主干内容的考查.2021年全国甲卷理科数学命题注重理论联系实际,体现数学的应用价值,并让考生感悟到数学的应用之美.理论联系实际的试题,体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点,有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用,对选拔与育人具有积
26、极的意义.试题贴近生活实际,体现数学应用价值,侧重核心素养中能力的考查,如第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景,通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果,以此设计问题,考查考生分析问题和数据处理的能力;第4题,以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力;第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之一三角高程测量法为背景设计,要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型,情境真实,突出理论联系实际;第18题,试题给出部分已知条件,要求考生根据试题要求构建一个命题,充分考查考生对数学本质的理解,引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中,重视培养数学核心素养,克服“机械刷题”现象.总之,2021年高考数学全国甲卷理科试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,发挥了高考数学学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.
