1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖北,理1)i为虚数单位,1-i1+i2=().A.-1B.1C.-iD.i答案:A解析:1-i1+i2=(1-i)2(1+i)2=-2i2i=-1,故选A.2.(2014湖北,理2)若二项式2x+ax7的展开式中1x3的系数是84,则实数a=().A.2B.54C.1D.24答案:C解析:二项式通项Tr+1=C7r(2x)7-
2、r(ax-1)r=27-rarC7rx7-2r.由题意知7-2r=-3,则r=5.令22a5C75=84,解得a=1.3.(2014湖北,理3)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,BUC”是“AB=”的().A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件答案:C解析:如图可知,存在集合C,使AC,BUC,则有AB=.若AB=,显然存在集合C.满足AC,BUC.故选C.4.(2014湖北,理4)根据如下样本数据:x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为y=bx+a,则().A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.
3、a0,b0答案:B解析:由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的.故b0.故选B.5.(2014湖北,理5)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为().A.和B.和C.和D.和答案:D解析:如图所示A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),B,C,D点在面yOz上的射影分别为B1,C1,D1,它们在一条线上,且C1为B1D1的中点.从前往后看时,看不到棱AC,正视图中AC1应为虚线.故正视图应为图.点A,D,C在面
4、xOy内的射影分别为O,B,C2,俯视图为OC2B,故选图.综上选D.6.(2014湖北,理6)若函数f(x),g(x)满足-11 f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是().A.0B.1C.2D.3答案:C解析:对于,-11 sin 12xcos 12xdx=-11 12sin xdx=12-11 sin xdx=12(-cos x)|-11=12-cos 1-cos(-1)=12(
5、-cos 1+cos 1)=0.故为一组正交函数;对于,-11 (x+1)(x-1)dx=-11 (x2-1)dx=13x3-x|-11=13-1-13+1=23-2=-430,故不是一组正交函数;对于,-11 xx2dx=-11 x3dx=14x4|-11=0.故为一组正交函数,故选C.7.(2014湖北,理7)由不等式组x0,y0,y-x-20确定的平面区域记为1,不等式组x+y1,x+y-2确定的平面区域记为2,在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为().A.18B.14C.34D.78答案:D解析:如图,由题意知平面区域1的面积S1=SAOM=1222=2.1与2的公共区域为阴影部
6、分,面积S阴=S1-SABC=2-12112=74.由几何概型得该点恰好落在2内的概率P=S阴S1=742=78.故选D.8.(2014湖北,理8)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为().A.227B.258C.15750D.355113答案:B解析:由题意可知:L=2r,即r=L2,圆锥
7、体积V=13Sh=13r2h=13L22h=112L2h275L2h,故112275,258,故选B.9.(2014湖北,理9)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为().A.433B.233C.3D.2答案:A解析:设椭圆长半轴为a1,双曲线实半轴长为a2,|F1F2|=2c.由余弦定理4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 3.而|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2可得a12+3a22=4c2.令a1=2ccos ,a2=2c3sin ,即a1c+a2c=2
8、cos +23sin =2cos+13sin=43332cos+12sin=433sin+3.故最大值为433,故选A.10.(2014湖北,理10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=12(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若xR,f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为().A.-16,16B.-66,66C.-13,13D.-33,33答案:B解析:由题意得,若a=0,f(x)=x,显然成立;若a0,当x0时,f(x)=x-3a2,x2a2,-a2,a20.对任意a0,b0,若经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,
9、b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案:(1)x(2)x(或填(1)k1x,(2)k2x,其中k1,k2为正常数均可)解析:经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线方程为y+f(b)=f(a)+f(b)a-b(x-b).令x=c,y=0得c=af(b)+bf(a)f(a)+f(b);(1)
10、令c=ab,则得af(b)=bf(a),可令f(x)=x.前面等式成立.(2)令c=2aba+b,则得af(b)=bf(a),可令f(x)=x,前面等式成立.(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2014湖北,理15)(选修41:几何证明选讲)如图,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=.答案:4解析:由题意知PA=PB.PA切O于点A,由切割线定理可得QA2=QCQD=1(1+3)=4.
11、QA=2,PA=22=4=PB.16.(2014湖北,理16)(选修44:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案:(3,1)解析:由曲线C1的参数方程x=t,y=3t3,得y=33x(x0),曲线C2的极坐标方程为=2,可得方程x2+y2=4,由联立解得x=3,y=1,故C1与C2交点的直角坐标为(3,1).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)(2014湖北,理17)某实验室一天的
12、温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos 12t-sin 12t,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?分析:由函数f(t)为acos t+bsin t型,故可利用辅助角公式对f(t)化简为f(t)=10-2sin12t+3,再根据t0,24),把12t+3的范围求出,再利用单位圆或者正弦函数的图象求出sin12t+3的范围,从而求得f(t)的最大与最小值.对于第(2)问,要求实验室温度不高于11 ,即满足不等式f(t)11的t的范围就是实验室需要降温的时间段,可利用正弦曲线或单位
13、圆来解三角不等式.解:(1)因为f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,又0t24,所以312t+311时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin12t+3,故有10-2sin12t+311,即sin12t+3-12.又0t24,因此7612t+3116,即10t60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.分析:(1)根据an是等差数列,首项a1已知,可设公差为d,由a1,a2,a5成等比数列,即a22=a1a5建立关于d的方程求出d来,可得通项公式an.第(2)问可由(1)问求出的an,求出数列an的前n项和Sn,解不等式Sn6
14、0n+800.若有解则存在正整数n,若无解则不存在.解:(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=n2+(4n-2)2=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存
15、在满足题意的n,其最小值为41.19.(本小题满分12分)(2014湖北,理19)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ;(2)是否存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.分析:解决立体几何问题往往用两种方法来解决.一是几何法,二是向量法.对于第(1)问,欲证直线BC1平面EFPQ,首先想到的是利用线面平行的判定定理,即能否在平面EFPQ内找到一条直线与BC1平行
16、,当=1时,由P,F分别是DD1与AD的中点,利用中位线定理可得FPAD1,从而得BC1FP,于是得证.对于第(2)问,研究是否存在的值使面EFPQ与面PQMN成直二面角,可根据条件利用几何法作出二面角的平面角,再令此平面角为90,看是否有解.若有解就存在,若无解则不存在.若用向量法,由于是立方体,可建立空间直角坐标系,要把各点各向量的坐标写准确.第(1)问还可利用向量共线,在平面EFPQ内找到一直线与BC1平行来解决,或求出平面EFPQ的法向量n1,利用n1BC1=0来证明BC1平面EFPQ.对于第(2)问分别求面EFPQ与平面MNPQ的法向量n,m,若存在使两平面成直二面角,则mn=0有解
17、,若不存在则无解.方法一(几何方法)(1)证明:如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1AD1.当=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FPAD1.图所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)解:如图,连接BD.图因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,且EF=12BD.又DP=BQ,DPBQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQBD,且PQ=BD,从而EFPQ,且EF=12PQ.在RtEBQ和RtFDP中,因为BQ=DP=,BE=DF=1,于是EQ=FP=1+2,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证
18、四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GOPQ,HOPQ,而GOHO=O,故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则GOH=90.连接EM,FN,则由EFMN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在GOH中,GH2=4,OH2=1+2-222=2+12,OG2=1+(2-)2-222=(2-)2+12,由OG2+OH2=GH2,得(2-)2+12+2+12=4,解得=122,故存在=122,使面EFPQ与面PQ
19、MN所成的二面角为直二面角.方法二(向量方法)以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.图由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,),FE=(1,1,0).(1)证明:当=1时,FP=(-1,0,1),因为BC1=(-2,0,2),所以BC1=2FP,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)解:设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由FEn=0,FPn=0,可得x+y=0,-x
20、+z=0,于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=122.故存在=122,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.20.(本小题满分12分)(2014湖北,理20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5
21、年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?分析:(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率.用样本估计总体的方法估计未来的年入流量.因各年的年入流量相互独立,可利用二项分布求出至多有1年的年入流量超过
22、120的概率.(2)分别求出安装1台,2台,3台发电机时,水电站年总利润的数学期望,比较它们的期望值,选择最佳方案.解:(1)依题意,p1=P(40X120)=550=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=C40(1-p3)4+C41(1-p3)3p3=9104+49103110=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-
23、800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,2台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8;由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120时,3台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得Y
24、的分布列如下Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.21.(本小题满分14分)(2014湖北,理21)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程.(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.分析:第(1)问求动点M的轨迹C的方程,就是找出动点M(x,y)中x与y的关系,依据点M到点F(1,0)的
25、距离比它到y轴距离多1建立等式|MF|=|x|+1,而|MF|可用两点间距离公式表示,化简整理可得轨迹C的方程.而对于第(2)问,由于直线过定点(-2,1),可用点斜式得直线方程y-1=k(x+2),讨论直线l与曲线C公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题.由第(1)问知曲线C的方程分为两段:一段是抛物线,一段为射线,而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程,需对二次项系数以及根的判别式作出讨论,还要注意与抛物线联立后有解时x的取值为非负这一条件.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x
26、|+x). 故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.(a)若0,x00,由解得k12.即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没
27、有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(b)若=0,x00,x00,由解得k-1,12,或-12k0,x00,由解得-1k-12,或0k0求单调递增区间,令f(x)0求单调递减区间.第(2)问是研究给定数值大小关系问题,结合给定数的特点有的是底一样,指数不一样,有的指数一样而底不一样,因此可利用函数的单调性初步判断出3ee3,e3e0,即0xe时,函数f(x)单调递增;当f(x)e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为e,+).(2)因为e3,所以eln 3eln ,ln eln 3,即ln 3eln e,ln eln
28、3.于是根据函数y=ln x,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即ln ln33ln ee.由ln ln33,得ln 33;由ln33ln ee,得ln 3eln e3,所以3ee3.综上,6个数中的最大数是3,最小数是3e.(3)由(2)知,3ee33,3ee3.又由(2)知,ln ln ee,得ee,故只需比较e3与e和e与3的大小.由(1)知,当0xe时,f(x)f(e)=1e,即lnxx1e.在上式中,令x=e2,又e2e,则ln e2e,从而2-ln 2-e.由得,eln e2-e2.72-2.723.12.7(2-0.88)=3.0243,即eln 3,亦即ln eln e3,所以e36-3e6-e,即3ln ,所以e3.综上可得,3ee3ee33,即6个数从小到大的顺序为3e,e3,e,e,3,3.
