1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014安徽,文1)设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=().A.-iB.iC.-1D.1答案:D解析:原式=-i+2i(1-i)2=1.2.(2014安徽,文2)命题“xR,|x|+x20”的否定是().A.xR,|x|+x20B.xR,|x|+x20C.x0R,|x0|+x0250,故输出55.5.(2014安徽,文5)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则().A.bacB.cabC
2、.cbaD.acb答案:B解析:log33log37log39,1a21,b2;00.83.10.80,0c1,故ca-a2,即a2时,f(x)=-3x-a-1,x-1,其大致图象如图所示,则fmin(x)=f-a2=-a2+a-1=3,解得a=8.当-1-a2,即a2时,f(x)=-3x-a-1,x-a2,其大致图象如图所示,则fmin(x)=f-a2=-a2+1-a=3,解得a=-4.当-1=-a2,即a=2时,f(x)=3|x+1|0,不符合题意.综上所述,a=-4或8.10.(2014安徽,文10)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,
3、y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为().A.23B.3C.6D.0答案:B解析:设a与b的夹角为.x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能:2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2;4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ;aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos .由此易知最小,则8|a|2cos =4|a|2,解得cos =12,=3.第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案
4、填在答题卡的相应位置.11.(2014安徽,文11)1681-34+log354+log345=.答案:278解析:原式=278+log31=278.12.(2014安徽,文12)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a7=.答案:14解析:由题意知数列an是以首项a1=2,公比q=22的等比数列,a7=a1q6=2226=14.13.(2014安徽,文13)不等式组x+y-20,x+2y-40,x+3y-20
5、表示的平面区域的面积为.答案:4解析:画出x,y约束条件限定的可行域为如图阴影区域ABC,易得B(2,0),C(0,2),D(4,0),由x+3y-2=0,x+2y-4=0,解得A(8,-2),SABC=SCBD+SABD=1222+1222=4.14.(2014安徽,文14)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数,且在0,2上的解析式为f(x)=x(1-x),0x1,sin x,13.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.18.(本小题满分12分)(2014安徽,文18)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证
6、明:数列ann是等差数列;(2)设bn=3nan,求数列bn的前n项和Sn.分析:在第(1)问中,观察给出的递推关系式,结合待证的数列,找第n项与第n+1项的关系,利用等差数列的定义进行证明,直至得出an+1n+1-ann的差为定值;在第(2)问中,首先由(1)的结论得出数列an的通项公式,进而得出数列bn的通项公式,因为数列bn是由一个等差数列与一个等比数列每一项对应相乘得到的数列,所以可用错位相减法求数列bn的前n项和Sn,选对方法是解本题的关键,最后还要注意化简到最简形式.(1)证明:由已知可得an+1n+1=ann+1,即an+1n+1-ann=1.所以ann是以a11=1为首项,1为
7、公差的等差数列.(2)解:由(1)得ann=1+(n-1)1=n,所以an=n2.从而bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-得,-2Sn=31+32+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1=(1-2n)3n+1-32,所以Sn=(2n-1)3n+1+34.19.(本小题满分13)(2014安徽,文19)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,
8、求四边形GEFH的面积.分析:在第(1)问中,通过BC平面GEFH这一条件,以此为切入点,即线面平行得线线平行,从而先证得BCGH,同理可证BCEF,最后得GHEF;在第(2)问中,要求四边形GEFH的面积,必须首先弄明白它是什么样的四边形.由(1)知GHEF,而EF=BC,GHBC,所以GHEF.所以四边形GEFH是梯形.要求梯形的面积,就既要知道GH与EF的长,又要知道梯形的高.设BD交EF于点K,连接GK,根据两条直线平行,若其中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面来说明GK是平面ABCD的垂线,从而GKEF.(1)证明:因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面G
9、EFH=GH,所以GHBC.同理可证:EFBC,因此GHEF.(2)解:连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2,得EBAB=KBDB=14,从而KB=14DB=12OB,即K为OB的中点.再由POGK,得GK=12PO,即G是PB的中点,且GH=12
10、BC=4.由已知可得OB=42,PO=PB2-OB2=68-32=6,所以GK=3.故四边形GEFH的面积S=GH+EF2GK=4+823=18.20.(本小题满分13分)(2014安徽,文20)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.分析:在第(1)问中,通过利用导数判断函数单调性的方法,先求导,再令其等于0,求出导函数的零点,即为相应的极值点,结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负,从而得到原函数的单调区间.在第(2)问中,讨论极值点x2在不在区间0,1内是问题的
11、关键,要通过分类讨论,得出函数f(x)在0,1上的变化趋势,从而得出f(x)在0,1上的最值情况.若函数f(x)在0,1上有单调性,那么f(x)的最值就在区间的端点处取得.若f(x)在0,1上单调递增,那么f(x)在x=0处取得最小值,在x=1处取得最大值.若f(x)在0,1上单调递减,那么f(x)在x=0处取得最大值,在x=1处取得最小值.若函数f(x)在0,1上不单调,就要看能不能把区间0,1再细分成几部分,通过讨论函数f(x)在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况.特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小,以确定哪一个才是最值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(
12、x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,显然x1x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f(x)0;当x1x0.故f(x)在(-,x1)和(x2,+)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减,因此f(x)在x=x2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在
13、x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cosAF2B=35,求椭圆E的离心率.分析:在第(1)问中,先由条件|AF1|=3|F1B|,|AB|=4分别求出|AF1|与|F1B|的值,再由椭圆定义,即|AF1|+|AF2|=2a得出|AF2|的值;在第(2)问中,先设|F1B|=k,由椭圆定义知|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,然后在ABF2中,由余弦定理得出a与k的关系式,化简得出a=3k,进而
14、得出|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,则得出|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,即F1AF2A,从而得出AF1F2为等腰直角三角形,从而求出离心率.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,故AF1F2为等腰直角三角形.从而c=22a,所以椭圆E的离心率e=ca=22.
