1、第2课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法导语同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅
2、仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式问题1请同学们写出两角差的余弦公式提示cos()cos cos sin sin .问题2试比较cos()和cos()，观察两者之间的联系，你能发现什么？提示我们注意到与有联系，()，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开即cos()cos()cos cos()sin sin()cos cos sin sin ，于是我们得到了两角和的余弦公式知识梳理1两角和的余弦公式cos()
3、cos cos sin sin ，其中，R，简记作C()2两角和与差的正弦公式sin()sin cos cos sin ，其中，R，简记作S()；sin()sin cos cos sin ，其中，R，简记作S()注意点：(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序例1(1)的值是()A. B. C1 D.答案A解析原式.(2)cos 70cos 50cos 200cos 40的值为()A B C. D.答案B解析方法一原式sin 20sin 40cos 20cos
4、 40(cos 20cos 40sin 20sin 40)cos 60.方法二原式cos 70sin 40cos 20cos 40sin 40cos 70sin 70cos 40sin(4070)sin(30)sin 30.反思感悟探究解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式跟踪训练1 .答案解析sin 30.二、给值求值例2(教材218页例3改编)
5、已知sin ，cos ，且为第一象限角，为第二象限角，求sin()的值解因为为第一象限角，为第二象限角，sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以sin()sin cos cos sin .延伸探究1若本例条件不变，求sin()的值解因为为第一象限角，为第二象限角，sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以sin()sin cos cos sin .2若本例条件不变，求cos()的值解由以上可知cos()cos cos sin sin .反思感悟给值求值的解题策略(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换
6、化异角为同角，具体做法是：当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围跟踪训练2已知，cos()，sin()，求cos 2与cos 2的值解因为，所以0，.又因为cos()，sin()，所以sin()，cos().所以cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().三、给值求角例3已知锐角，满足sin ，cos ，则 .答案解析，为锐角，sin ，cos ，cos
7、 ，sin ，cos()cos cos sin sin .又0，.延伸探究若本例中sin ，其余条件不变，求的值解因为，均为锐角，且sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以sin()sin cos cos sin .又因为，均为锐角，所以，故.反思感悟解决给值求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，)或(，2)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值跟踪训练3已知sin ，sin ，且和均为钝角，求的值解因为和均为钝角，所以cos ，cos ，2，所以cos()cos cos sin si
8、n ，所以.1知识清单：(1)公式的推导(2)给角求值、给值求值、给值求角(3)公式的正用、逆用、变形用2方法归纳：构造法3常见误区：求值或求角时忽视角的范围1sin 105的值为()A. B.C. D.答案D2化简sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A B C. D.答案A3若cos ，是第三象限角，则sin 等于()A B. C D.答案A4sin 15cos 15 .答案解析sin 15cos 152sin(1560)2sin 45.1sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A B. C D.答案D解析sin 20cos 10cos 160sin 1
9、0sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.2在ABC中，sin Asin Bcos Acos B，则这个三角形为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形答案B解析在ABC中，sin Asin B0，cos C0，所以0.所以cos().sin ，所以cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，因为，所以.11在ABC中，A，cos B，则sin C等于()A. BC. D答案A解析因为cos B，且0B，所以sin B，又A，C(AB)，所以sin Csin(AB)sincos
10、Bcos sin B.12已知为钝角，且sin，则cos等于()A. B.C D.答案C解析为钝角，且sin，cos，coscoscoscossinsin.13设，且tan ，则()A20 B2C20 D2答案D解析sin cos cos cos sin ，sin()cos sin，0，2.14若方程sin xcos xm1有解，则m的取值范围是 答案1,3解析sin xcos xm1，即2m1，即2sinm1，sin1,12m12，即1m3.15“在ABC中，cos Acos B sin Asin B”，已知横线处是一个实数甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 答案bac解析由题意，得横线处的实数等于cos(AB)，即cos(C)，故当C是直角时，acos(AB)cos0；当C是锐角时，1bcos(AB)0；当C是钝角时，0ccos(AB)1，故bac.16已知，cos ，cos().(1)求sin 的值；(2)求2的值解(1)，(0，)，又cos ，cos()，则sin ，sin()，sin sin()sin()cos cos()sin .(2)cos(2)cos()cos()cos sin sin()0.由，得2，2的值为.
