1、5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式学习目标1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用导语同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知，的三角函数值，求的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式一、两角差的余弦公式问题1已知角的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标提示P(cos ，sin )问题2观察下图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论
2、？提示A(1,0)，P(cos()，sin()，A1(cos ，sin )，P1(cos ，sin )连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现APA1P1.问题3你还记得初中所学两点间的距离公式吗？提示平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2，由此可得cos()12sin2()(cos cos )2(sin sin )2.知识梳理两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin ，其中，为任意角，简记作C()注意点：(1)该公式对任意角都能成立(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和(3)公式的逆用仍然成立例1(1
3、)cos 15的值是()A. B.C. D.答案D解析cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)求下列各式的值：coscoscossin；cos 105sin 105.解原式coscoscossincoscossinsincoscos.原式cos 60cos 105sin 60sin 105cos(60105)cos(45).反思感悟两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两
4、个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313；(3)sin cos.解(1)原式cos21(24)cos 45.(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).(3)原式222cos2cos.二、给值求值问题4正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如何？提示正弦在一、二象限为正，三
5、、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负；正切在一、三象限为正，二、四象限为负例2(1)已知sin，则cos sin 的值为()A B. C2 D1答案B解析cos sin 222cos2sin2sin.(2)已知sin，且，则cos .答案解析因为sin，且，所以，所以cos，所以cos coscoscossinsin.反思感悟给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有：()；2()()；2()()跟踪训
6、练2已知，且sin ，cos()，求cos 的值解因为，所以0，由cos()，得sin()，又sin ，所以cos ，所以cos cos()cos()cos sin()sin .三、给值求角问题5若0，0，你能求的取值范围吗？提示.例3已知cos ，cos()，且0，求的值解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().()，cos cos()cos cos()sin sin().0，.反思感悟已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(3)结合三角函数值及角的范围求角提醒：
7、由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案跟踪训练3已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值解，均为锐角，sin ，sin .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.1知识清单：(1)两角差的余弦公式的推导(2)给角求值、给值求值、给值求角2方法归纳：构造法3常见误区：求角时忽视角的范围1cos 20等于()Acos 30cos 10sin 30sin 10Bcos 30cos 10sin 30sin 10Csin 30cos 10sin 10cos 30Dsin 30cos 10sin 10cos 30答案B解析cos 20cos(3010)c
8、os 30cos 10sin 30sin 10.2cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)的值为()A B.C D.答案B解析原式cos(35)(25)cos 60.3已知cos ，则cos的值为()A. B.C. D.答案D解析因为，所以sin ，所以coscos cossin sin.4若cos()，cos 2，且，均为锐角，则 .答案解析因为0，0，.所以0.又cos()，所以sin().又因为02，cos 2，所以sin 2，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，又0，故.1sin 20cos 10sin 10sin 70的值是()A. B
9、. C. D.答案C解析sin 20cos 10sin 10sin 70cos 70cos 10sin 70sin 10cos(7010)cos 60.2已知sin ，则cos等于()A. B. C D答案B解析由题意可知cos ，coscoscoscos cossin sin .3满足cos cos sin sin 的一组，的值是()A， B，C， D，答案B4已知为锐角，为第三象限角，且cos ，sin ，则cos()的值为()A B C. D.答案A解析为锐角，且cos ，sin .为第三象限角，且sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .5若0，且cos ，sin
10、()，则cos 等于()A. B. C. D.答案B解析cos ，sin ，0，sin()，cos()，cos cos()cos()cos sin()sin .6(多选)若sin xcos xcos(x)，则的一个可能值是()A B C. D.答案AC解析对比公式特征知，coscos(x)，所以2k，故，都合适7. .答案解析原式cos 15cos(6045).8在ABC中，sin A，cos B，则cos (AB) .答案解析因为cos B，且0B，所以B，所以sin B，且0A，所以cos A，所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.9.如图，在平面直角坐标系中，锐角和
11、钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos 和sin 的值；(2)在(1)的条件下，求cos()的值解(1)OA1，OB1，且点A，B的纵坐标分别为，sin ，sin ，又为锐角，cos .(2)为钝角，由(1)知cos ，cos()cos cos sin sin .10已知0，0，cos，cos，求cos的值解由题设得，sin，sin，coscoscoscossinsin.11已知cos，则cos xcos的值是()A BC1 D1答案C解析cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.12已知sin sin sin 0和c
12、os cos cos 0，则cos()的值是()A. B.C D答案C解析sin sin sin ，cos cos cos ，两式分别平方，然后相加即可13在ABC中，有关系式tan A成立，则ABC为()A等腰三角形BA60的三角形C等腰三角形或A60的三角形D不能确定答案B解析因为tan A，所以sin Asin Csin Asin Bcos Acos Bcos Acos C，所以cos Acos Csin Asin Ccos Acos Bsin Asin B，即cos(AC)cos(AB)，所以ACAB或ACAB0，所以CB(舍)或A60，所以ABC为A60的三角形14已知0，sin，则
13、cos .答案解析由0，则，又sin，故，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos，cos coscoscos sinsin .15.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，且小正方形与大正方形面积之比为925，则cos()的值为()A. B. C. D.答案D解析设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为925，可得小正方形的边长为，可得cos sin ，sin cos .由图可得cos sin ，sin cos ，所以得cos sin sin cos cos cos sin sin sin2cos2cos()1cos()，解得cos().16已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)已知0，且sin ，求cos()的值解由题意知tan 2.(1)原式tan 2.(2)因为是第一象限角，且终边过点，所以sin ，cos ，因为0，且sin ，所以cos ，所以cos()cos cos sin sin .
