1、第3课时公式的综合应用学习目标1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明导语同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一六，你掌握记忆的技巧了吗？其实，它们可以统一概括为k(kZ)的三角函数值，等于的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”一、利用诱导公式证明恒等式例1求证：.证明右边左边，原等式成立反思感悟三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的
2、代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练1求证：.证明左边右边，原等式成立二、诱导公式在实际问题中的应用问题1三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？提示互补问题2直角三角形中，两锐角是什么关系？提示互余例2在ABC中，sinsin，试判断ABC的形状解因为ABC，所以ABC2C，ABC2B.又因为sinsin，所以sinsin，所以sinsin，所以cos Ccos B.又B，C为ABC的内角，所以CB，所以ABC为等腰三角形反思感悟利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角
3、形内角和ABC以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值跟踪训练2在ABC中，下列各表达式为常数的是()Asin(AB)sin C Bcos(BC)cos ACsin2sin2 Dsinsin 答案C解析在ABC中，ABC，A项，sin(AB)sin C2sin C，不为常数；B项，cos(BC)cos A2cos A，不为常数；C项，sin2sin2cos2sin21为常数；D项，sinsincossin，不为常数三、三角函数的综合应用例3已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角就是将角的终边顺时针旋转得到的，求5sin 5cos
4、 3tan 的值解(1)根据题意，得sin ，cos ，tan ，sin()sin .(2)根据题意，得，5sin 5cos 3tan 5sin5cos3tan5cos 5sin 553.反思感悟用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少(2)对于和这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名跟踪训练3若角的终边上有一点P(m，8)，且cos .(1)求m的值；(2)求的值解(1)由勾股定理得，点P到原点的距离为r，根据三角函数的定义可得cos ，解得m6
5、，m6(舍去)(2)原式sin ，由(1)可得r10，所以sin ，所以原式sin .1知识清单：(1)识记诱导公式(2)三角形角的特点(3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明2方法归纳：公式法3常见误区：实际问题中角的范围1在ABC中，cos(AB)的值等于()Acos C Bcos CCsin C Dsin C答案B解析由于ABC，所以ABC.所以cos(AB)cos(C)cos C.2已知sin 40a，则cos 130等于()Aa BaC. D答案B3已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2)，则等于()A. B1 C. D答案A解析由题意知，sin ，co
6、s ，原式.4计算：sin211sin279_.答案1解析因为sin 79sin(9011)cos 11，所以原式sin211cos2111.1sin 75cos 195的值为()A1 B0C. D1答案B解析sin 75cos 195sin(9015)cos(18015)cos 15cos 150.2已知角的终边过点(3,4)，则cos()等于()A B. C D.答案D解析因为角的终边过点(3,4)，所以cos ，所以cos()cos .3若cos 57m，则cos 213等于()A BC Dm答案C解析cos 213cos(18033)cos 33sin 57.4若角7的终边与单位圆的交
7、点坐标是，则cos(2 022)等于()A B C. D答案A解析依题意知，sin(7)，即sin ，则cos ，故cos(2 022)cos .5(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是()AtantanBsincosCtan2sin2tan2sin2Dsin4cos42sin21答案BCD解析对于A，tantantan，故A错误；对于B，sinsincos，故B正确；对于C，tan2sin2sin2sin2sin2sin2tan2sin2，故C正确；对于D，sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2sin2(1sin2)2sin21，故D正确
8、6角的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则tan 等于()A. B C D答案B解析角的终边绕原点逆时针旋转后得到角，由题意可知cos，sin，化简得sin ，cos ，即sin ，cos ，则tan .7若函数f(x)asin(x)bcos(x)，其中a，b，都是非零实数，且满足f(2 022)2，则f(2 023)_.答案2解析f(2 022)asin(2 022)bcos(2 022)asin bcos 2，f(2 023)asin(2 023)bcos(2 023)asin()bcos()(asin bcos )2.8已知sin，则sinsin2_.答案解析因为sin，所以sins
9、in2sinsin2sincos2sin1sin212.9求证：cos .证明因为左边cos 右边，所以等式成立10在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角解由题意得sin Asin B，cos Acos B，两边平方相加得2cos2A1，cos A，又因为A(0，)，所以A或.当A时，cos B0，所以B，所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去所以A，cos B，所以B，所以C.综上所述，A，B，C.11.黄金三角形有两种，一种是顶角为36的等腰三角形，另一种是顶角为108的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108的黄金
10、三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，根据这些信息，可得cos 144等于()A. B C D答案C解析ABC108，BAC(180108)36，cos 36，cos 144cos 36.12(多选)已知sin，则角的终边可能在()A第一象限 B第二象限C第三象限 Dx轴的负半轴上答案BCD解析原等式可化为cos ，cos ，|cos |cos ，cos 0，的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上13已知cos，且，那么cos等于()A B.C D.答案A解析，又，cos，sin，coscossin.14计算sin21sin22sin23sin289等于()A89 B90 C. D45答案C
11、解析sin21sin289sin21cos211，sin22sin288sin22cos221，sin21sin22sin23sin289sin21sin22sin23sin244sin245cos244cos243cos23cos22cos2144.15对于函数f(x)asin(x)bxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2答案D解析 sin(x)sin x，f(x)asin xbxc，则f(1)asin 1bc，f(1)asin(1)b(1)casin 1bc，f(1)f(1)2c.把f(1)4，f(1)6代入式，得c5Z，故排除A；把f(1)3，f(1)1代入式，得c2Z，故排除B；把f(1)2，f(1)4代入式，得c3Z，故排除C；把f(1)1，f(1)2代入式，得cZ，故选D.16化简：，其中kZ.解当k为偶数时，设k2m(mZ)，则原式1.当k为奇数时，设k2m1(mZ)，则原式1，故原式1.
