1、第3课时正弦函数、余弦函数的性质的综合问题学习目标1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题导语同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想一、形如yasin2xbsin xc(a0)型
2、函数的最值(值域)问题问题1求二次函数的最值，需要明确哪些方面？提示开口方向，对称轴，函数的定义域问题2同角三角函数的平方关系是什么？提示sin2cos21.例1函数ycos2x2sin x2，xR的值域为_答案4,0解析因为ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2.又1sin x1，所以4y0，所以函数ycos2x2sin x2，xR的值域为4，0延伸探究1把本例中“xR”变为“x”，求函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值解由例题解答可知y(sin x1)2，因为x，所以sin x1，所以当sin x1，即x时，ymax0；当sin x，即x时，ymin.2本
3、例函数变为ysin2x2cos x2，xR，求函数的值域解因为ysin2x2cos x21cos2x2cos x2cos2x2cos x1(cos x1)2，又1cos x1，所以函数的值域为4,0反思感悟 求yasin2xbsin xc(a0)型函数最值(值域)的方法形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值t的范围需要根据定义域来确定若f(x)asin2xbcos xc，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值跟踪训练1函数f(x)sin2xcos x的最大值是_答案1解析由题意得f(x)1cos2xcos
4、x，令cos xt，则t0,1，则yt2t21，则当t，即x时，f(x)取得最大值1.二、正弦函数、余弦函数的对称性问题3正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？提示有，(k，0)(kZ)问题4正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？提示是轴对称图形，方程为xk(kZ)问题5类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？提示对称轴方程是xk(kZ)，对称中心的坐标为(kZ)例2函数ysin的图象的对称轴是直线_，对称中心是_答案x(kZ)(kZ)解
5、析要使sin1，必有2xk(kZ)，x(kZ)，故函数ysin的图象的对称轴是直线x(kZ)函数ysin的图象与x轴的交点为对称中心，令y0，即sin0，2xk(kZ)，即x(kZ)故函数ysin的图象的对称中心是(kZ)反思感悟正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想跟踪训练2求函数y2sin的对称轴、对称中心解y2sin2sin，令2xk，kZ，得x，kZ，所以函数y2sin的对称轴为直线x，kZ，对称
6、中心的横坐标满足2xk，kZ，即x，kZ.所以函数y2sin的对称中心为，kZ.三、函数性质的综合应用例3若函数yf(x)同时满足下列三个性质：最小正周期为；图象关于直线x对称；在区间上单调递增，则yf(x)的解析式可以是()Aysin BysinCycos Dycos答案A解析对于A选项，周期为，sinsin 1，所以ysin的图象关于直线x对称；令2x，得x，所以函数ysin在上单调递增，故A选项符合题意反思感悟 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等跟踪训练3(多选)已知函数f(x)2sin，则(
7、)A函数f(x)的最小正周期为Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的图象关于点对称Df(x)在区间(0，)上有两个零点答案ABD解析对于A，函数yf的最小正周期T，故A正确；对于B， f2sin2，f(x)的图象关于直线x对称，故B正确；对于C， f2sin2sin1，故f(x)的图象不经过点，也不是其对称中心，故C错误；对于D，令f0(0x)，即2sin0，解得x或x，故f(x)在区间(0，)上有两个零点，故D正确1知识清单：(1)形如yasin2xbsin xc(a0)型函数的最值(值域)问题(2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心(3)函数性质的综合运用2方法归纳：整体代换、换元法
8、3常见误区：二次函数的最值问题1已知函数ysin(2x)的图象关于点对称，则可以是()A B.C D.答案C解析因为函数ysin(2x)的图象关于点对称，所以2k(kZ)，解得k(kZ)结合选项，当k0时，.2已知函数y4cos x的定义域为，值域为a，b，则ba的值是()A4 B42C6 D42答案C解析函数y4cos x的定义域为，函数在上单调递减当x时，y4cos 42，即函数的最大值b2；当x时，y4cos 4，即函数的最小值a4，则ba2(4)6.3已知直线x和x是曲线f(x)sin(x)()的两条对称轴，且函数f(x)在上单调递减，则的值是()A B0 C. D答案A解析由f(x)
9、在上单调递减可知，f是最小值，由两条对称轴为直线x和x可知，直线x0也是对称轴，且f(0)1为最小值，故sin 1.又0)若f(x)f对任意的实数x都成立，则f_，的最小值为_答案1解析f(x)f对任意的实数x都成立，当x时，f(x)取得最大值1.即fcos1，2k，kZ，8k，kZ.0，当k0时，取得最小值.9已知函数f(x)sin(x)，若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为.(1)求f(x)；(2)求f(x)的单调递增区间解(1)依题意T，2，f(x)sin(2x)，又f(x)的图象关于点对称，2k，kZ，得k，kZ，又|，f(x)sin.(2)令2k2x2k，kZ，
10、解得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为，kZ.10已知函数f(x)sin2xsin xa.当f(x)0有实数解时，求a的取值范围解1sin x1，令tsin x，则1t1.f(x)0有实数解，即t2ta0在1,1内有实数解at2t，t1,1，设h(t)t2t2，t1,1，当t时，h(t)min，当t1时，h(t)max2，a的取值范围是.11已知函数f(x)2sin(2x)，若f(x)关于x对称，则f(x)的一个单调递增区间可以是()A. B.C. D.答案D解析f(x)关于x对称，则k，kZ，k，kZ，又|0)，对任意xR都有f(x)f ，并且f(x)在区间上不单调，则的最小值是()A1
11、 B3 C5 D7答案D解析由题意，得f是函数f(x)的最大值，2k，kZ，即6k1，kZ.0，kN.当k0时，1，f(x)sin在上单调递增，不符合题意；当k1时，7，f(x)sin符合题意的最小值为7.13已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是()Af(1)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(1)Cf(2)f(0)f(1) Df(2)f(1)f(0)答案B解析因为f(x)的最小正周期为，所以T，得2，则f(x)sin(2x)，又f(x)关于中心对称，2k，kZ，即k，kZ，又|，当k0时，则f(x)sin.令2k2x2k，kZ，解得x，kZ.故f
12、(x)在上单调递增又f(2)f，且021都在区间中，故可得f(0)f(2)f(1)14函数f(x)3sin(x)的图象关于直线x对称，设g(x)3cos(x)1，则g_.答案1解析函数f(x)的图象关于直线x对称，f(x)3sin(x)的图象的对称轴过函数g(x)3cos(x)1的图象的对称中心，g1.15已知函数f(x)Asin(x)的图象离原点最近的对称轴为xx0，若满足|x0|，则称f(x)为“近轴函数”若函数y2sin(2x)是“近轴函数”，则的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析y2sin(2x)靠近原点的对称轴为xx0，则2x0x0，要为近轴函数，则|x0|，0，x0，0，x0，或解得.16已知函数f(x)2cos，xR.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，方程f(x)k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围解(1)由余弦函数的单调性，得2k2x2k2，kZ，则kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)函数f2cos的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ，所以函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减，且f0，f2，f，所以当0k2时，函数yk与函数yf(x)的图象有两个公共点，即当0k2时，方程f(x)k恰有两个不同的实数根
