1、4.4.3不同函数增长的差异学习目标1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型导语同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！一、几个函数模型增长差异的比较问题1结合之
2、前所学，请同学们自行阅读课本136页138页，同桌之间可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果提示通过对y2x与y2x的比较我们发现，函数y2x的增长速度保持不变，函数y2x的增长速度在变化，而且增长速度越来越快，虽然函数y2x在一定范围内比函数y2x增长快些，但存在一个x0，当xx0时，总有2x2x，即使一次函数ykx(k0)，k的值远远大于指数函数yax(a1)中a的值，yax(a1)的增长速度最终都会大大超过ykx(k0)的增长速度通过对函数ylg x与yx的比较我们发现，函数yx的增长速度保持不变，函数ylg x的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数ylg x在一定范围内比函数yx
3、增长快些，但存在一个x0，当xx0时，总有xlg x，即使对数函数ylogax(a1)中底数a的值远远大于一次函数ykx(k0)中k的值，一次函数ykx(k0)的增长速度最终都会超过对数函数ylogax(a1)的增长速度问题2把一次函数y2x，对数函数ylg x和指数函数y2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异提示一次函数y2x匀速增长，指数函数y2x增长越来越快，对数函数ylg x增长最慢知识梳理三种常见函数模型的增长差异函数性质yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度
4、不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度yax(a1)的增长速度最终都会大大超过ykx(k0)的增长速度；总存在一个x0，当xx0时，恒有logaxx0时，有axkxlogax注意点：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型(3)一次函数增长速度不变，平稳变化(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 023x Byx2 023Cylog2 023x Dy2 023x答案A解析比较一次函数、幂函数、指
5、数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：x1357911y151356251 7153 6356 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.207.40则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是()Ay1，y2，y3 By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy3，y1，y2答案C解析由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数反思感悟常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型
6、：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型：指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6x Bylog6xCyx2 Dy6x答案B解析D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，
7、符合题意二、函数增长速度的比较例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x16x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 022)g(2 022)又因为g(2 022)g(6)，所以f(2 022)g(2 022)g(6)f(6)反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时
8、，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数跟踪训练2函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数；(2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1；C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)三、函数模型的选择问题3现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每
9、天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番提示如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案三最终回报最高例3汽车制造商在2022年年初公告：公司计划2022年的生产目标为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：年份(年)201920202021产量(万辆)81830如果我们分别将2019,2020,2021,2022定义为第一、二、三、四年现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数型函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？解建立年产量y与年份x的函数，可知函数
10、图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点的坐标代入，可得解得则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1万辆构造指数型函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点的坐标代入，可得解得则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4万辆由可得，二次函数模型f(x)x27x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，
11、且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题跟踪训练3在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4(即22)架是第2架的80%；第8(即23)架是第4架的80%；，这就是说，通过积累经验，可以提高效率这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”设制造第1架飞机需要用k个工时，进步率为r，试求出制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式解由题意，可知第1架用k个工时，第2架用kr个工时，第22架用kr
12、2个工时，第2n架用krn个工时令x2n，则nlog2x，因此ykrn，所以制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式为y(x0)1知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型2方法归纳：转化法3常见误区：不理解三种函数增长的差异1下列函数中，在(0，)上增长速度最快的是()Ayx2 Bylog2xCy2x Dy2x答案D2在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()Ayabx ByabxCyax2b Dya答
13、案B解析在坐标系中描出各点，知模拟函数为yabx.3甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v11) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)答案C解析由表中数据可知，s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A，D中的函数增长速度越来越慢；B中的函数增长速度保持不变；C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快4小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()答案C解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学
14、校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.5y12x，y2x2，y3log2x，当2xy2y3 By2y1y3Cy1y3y2 Dy2y3y1答案B解析由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所以4y116,4y216,1y3y1y3.6(多选)下面对函数f(x)与g(x)x在区间(0，)上的衰减情况的说法中错误的有()Af(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快Bf(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢Cf(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢Df(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快答案ABD解析在平面
15、直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢7.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的序号是_答案解析由图可知，前三年产量增长的速度越来越慢，故错误，正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故错误，正确8下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，最有前途的生意是 _.y101.05x；y20x1.5；y30lg(x1)；y50.答案解析由
16、于指数型函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，y101.05x是最有前途的生意9每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？解方案一：5年后树木面积为101515(万平方米)方案二：5年后树木面积是10(19%)515.386(万平方米)，因为15.38615，所以方案二较好10某快捷酒店有150个标准客房，经过一段时间的试营业，得到一些每个标准客房的价格和客房的入住率的数据如下：标准客房的价格/元
17、160140120100客房的入住率55%65%75%85%根据这些数据，要使该快捷酒店每天的营业额最高(入住率越高，营业额越高)，应如何定价？解设入住率为y%，标准客房价格是x元，根据已知数据，得ykxb，由解得即yx135，经检验，x140或x120时也符合令y100，x135100，x70，此时入住率是100%，营业额最高标准客房的定价为70元11下列函数图象中，估计有可能用函数yablg x(b0)来模拟的是()答案C解析由于函数ylg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b0，所以当x0时，yablg x(b0)的图象是单调递增且上凸的12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一
18、定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是()答案B解析开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合13渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)mat.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10
19、%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 20.3，结果取整数)()A33分钟 B40分钟C43分钟 D50分钟答案C解析由题意得解得a，m0.05，故h(t)0.05，令h(t)0.051，得20，故t43(分钟)14.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑
20、自行车者；骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_答案解析看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故正确；两函数图象的交点的横坐标对应于4.5，故正确，错误15.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：yat(t0，a0且a1)的图象有以下叙述：第4个月时，有害物质的剩留量低于；每月减少的有害物质量都相等；若剩留量为，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1t2t3.其中所有正确叙述的序号是_答案解析根
21、据题意，函数的图象经过点，所以a2，解得a(负舍)，故函数为yt，当t4时，y，故正确；当t1时，y，减少；当t2时，y，减少，每月减少的有害物质量不相等，故不正确；分别令y，解得t1，t2，t3， t1t2t3，故正确16在2021年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写入政府工作报告，也进一步成为网络热词为了减少自身消费的碳排放，节省燃料经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40v120)的数据关系如下表：v406090100120Q5.268.3251015.6为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)0.9va，Q(v)0.04
22、vb，Q(v)0.000 025v30.004v2cv.(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？解(1)该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合；若选择第二种模型，代入(40,5.2)得5.20.0440b，解得b3.6，Q(v)0.04v3.6，此时Q(90)7.2，Q(100)7.6，Q(120)8.4，与实际数据相差较大，故第二种不符合；经观察第三种函数模型最符合实际，代入(40,5.2)，可得0.000 0254030.004402c405.2，即1.66.4c405.2，解得c0.25，Q(v)0.000 025v30.004v20.25 v，此时，Q(60)6，Q(90)8.325，Q(100)10，Q(120)15.6，符合题意，Q(v)0.000 025v30.004v20.25v.(2)设总耗油量为W，WQ0.002 5v20.4v250.002 5(v80)29,40v120，当v80时，W取得最小值为9，这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少
