1、1.5.1全称量词与存在量词学习目标1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假导语同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，全都不许说话”；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业”而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论一、全称量词与全称量词命题问题1下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x3；(2)2x1是整数；(3)对所有的xR，x
2、3；(4)对任意一个xZ,2x1是整数提示语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题知识梳理全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”注意点：(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题
3、，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”(3)要判定全称量词命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立(4)要判定全称量词命题“xM，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可例1判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假(1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin Acos B；(2)自然数的平方大于或等于零；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上解(1)含有全称量词“任意”，故是全称量
4、词命题，真命题(2)全称量词命题表示为nN，n20.真命题(3)全称量词命题对于任意二次函数，它的图象的开口都向上假命题反思感悟(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可跟踪训练1判断下列全称量词命题的真假(1)每个四边形的内角和都是360；(2)任何实数都有算术平方根；(3)xy|y是无理数，x2是无理数解(1)真命题(2)负数没有算术平方根，假命题(3)x是无理
5、数，但x22是有理数，假命题二、存在量词与存在量词命题问题2下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个xR，使2x13；(4)至少有一个xZ，x能被2和3整除提示容易判断，(1)(2)不是命题语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题知识梳理存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的、对某些符号表示存在量词命题含有存在量
6、词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“xM，p(x)”注意点：(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题(3)要判断存在量词命题“xM，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立例2判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(2)某个四边形不是平行四边形；(3)方程3x2y
7、10有整数解；(4)有一个实数x，使x22x40.解(1)存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除真命题(2)存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形真命题(3)可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题真命题(4)存在量词命题，由于2244120，因此方程无实根假命题反思感悟(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元
8、素使结论不成立跟踪训练2判断下列存在量词命题的真假(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；(2)至少有一个整数n，使得n2n为奇数；(3)xy|y是无理数，x2是无理数解(1)菱形的对角线互相垂直，真命题(2)n2nn(n1)，故n和n1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题(3)当x时，x2仍是无理数，真命题三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围解由于命题p：“xB，xA”是真命题，所以BA，因为B，所以解得2m3.即m的取值范围为m|2m3延伸探究1把本例中命题p改为“xA，xB”，求m
9、的取值范围解p为真，则AB，因为B，所以m2.所以或解得2m4.2把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由解由于命题p：“xA，xB”是真命题，所以AB，B，所以无解，所以不存在实数m，使命题p是真命题反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x2
10、4xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则(4)24a0，解得a4.即实数a的取值范围为a|a41知识清单：(1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念(2)含量词的命题的真假判断(3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围2方法归纳：定义法、转化法3常见误区：有些命题省略了量词；全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”1(多选)下列命题是全称量词命题的是()A任意一个自然数都是正整数B有的菱形是正方形C梯形有两边平行DxR，x210答案AC解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题；选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题2下列命题中是
11、存在量词命题的是()A任何一个实数乘以0都等于0B任意一个负数都比零小C每一个正方形都是矩形D存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxc(a0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.4命题p：xR，x22x50是_(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方
12、程x22x50的判别式22453”的另一种表述方式的是()A有一个xR，使得x23B对有些xR，使得x23C任选一个xR，使得x23D至少有一个xR，使得x23答案C解析“”表示“任意的”2下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是()AxR,2x10B若2x为偶数，则xNC菱形的四条边都相等D是无理数答案C解析对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确3下列命题中的假命题是()AxR，|x|0 BxR,2x101CxR，x30 DxR，x210答案C解
13、析当x0时，x30，故选项C为假命题4下列存在量词命题是假命题的是()A存在xQ，使4x20B存在xR，使x2x10C有的素数是偶数D有的有理数没有倒数答案B解析对于任意的xR，x2x120恒成立5以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2答案B解析A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中当x0时，x20，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为()0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有0”用“”写成存在量词命题为_答案x0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p
14、(x)成立”可用符号简记为“xM，p(x)”8若命题“二次函数yx23x9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是_答案解析由题意，“二次函数yx23x9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得(3)249a0，解得a，即实数a的取值范围是.9判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性(1)对所有的正实数t，为正且0；(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等解(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t1，则0，所以存在实数x，使得x23x40.(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x4y50成立(4)为全称量词命
15、题，且为真命题10已知命题“3x2,3ax20”为真命题，求实数a的取值范围解由3ax20，得3a2x，3x2，2x3，23a23，即0a，故实数a的取值范围是.11下列命题中形式不同于其他三个的是()AxZ，x29x2BxR，x22x10C每一个正数的倒数都大于0Dx2，x31 Ba1Ca1 Da1答案B解析依题意得，方程x22xa0无实根，所以必有44a0，解得a3，xa恒成立，则a的取值范围是_答案a3解析对于任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a3.15能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2abb0”是真命题的一组有序数对(a，b)为_答案(2,4)(答案不唯一)解析由a2abb0，得abba2，即b(a1)a2，则b(a1)当a2时，b4，故能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2abb0”是真命题16已知Mx|axa1，(1)“xM，x10”是真命题，求实数a的取值范围；(2)“xM，x10”成立，求实数a的取值范围解(1)xM，x10是真命题，即a10，解得a1，所以实数a的取值范围是a1.(2)“xM，x10”成立，即a110，解得a2，所以实数a的取值范围是a2.
