1、4.5.3函数模型的应用学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题导语我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？问题1你能写出几种函数模型？提示函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数
2、，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)问题2应用函数模型解决问题的基本过程是什么？提示(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型(2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型(3)求模求解数学模型，得出数学模型(4)还原将数学结论还原为实际问题一、应用已知函数模型解决实际问题例1Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病例数当I(t*)0.9K时，标志
3、着已初步遏制疫情，则t*约为()(注：e为自然对数的底数，ln 92.2)A60 B62 C66 D69答案B解析I(t*) 0.9K，1，则0.24(t*53)lnln 92.2，解得t*62.反思感悟利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算跟踪训练1我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求音量大小的单位是分贝(dB)对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lg(其中I0
4、是人耳能听到的声音的最低声波强度)设170 dB的声音强度为I1，260 dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.倍 B10倍 C10倍 Dln倍答案B解析由题意得，7010lg，则I1I0107.同理得I2I0106，所以10.二、指数型函数模型例2习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有责某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且3年时间绿化面积增长4.5%(参考数据：10.150，lg 1 0153.006，lg 20.301，lg 30.477)，试求：(1)每年绿化面积的增长率；(2)按此增长率，若2022年年初时，该省的绿地面积是提
5、出该理念时的倍，请问习近平总书记最迟是哪一年首次提出该理念解(1)设每年绿化面积的增长率为p，则(1p)31.045，则p10.015，故每年绿化面积的增长率约为1.5%.(2)设经过n年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，则1.015n，则n8.5，而2 02292 013，因此，习近平总书记最迟在2013年首次提出该理念反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式跟踪训练2某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础
6、上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2023年 B2024年C2025年 D2026年答案B解析设x年后研发资金开始超过200万元，所以130(112%)x200，所以1.12x，所以xlog1.12，所以x，所以x3.8，故2024年研发资金开始超过200万元三、对数型函数模型例35G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：CWlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小
7、，其中叫做信噪比按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了()A10% B30% C50% D100%答案A解析当1 000时，CWlog2(11 000)，当2 000时，CWlog2(12 000)，则11lg 2，又lg 2，根据选项分析，lg 20.1，所以将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了10%.反思感悟对数型函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然
8、后根据数值回答其实际意义跟踪训练320世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为Mlg Alg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的()A20倍 Blg 20倍 C100倍 D1 000倍答案C解析设7级地震最大振幅为A1，则7lg A1lg A0，5级地震最大振幅为A2，则5lg A2lg A0，所以75(lg A1lg A0)(lg A2lg A0)lg A1lg A
9、2lg 2，所以102，即A1100A2，所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍1知识清单：(1)应用已知函数模型解决实际问题(2)指数型函数模型(3)对数型函数模型2方法归纳：转化法3常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论1我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为()Ayx(xN*) By(xN*)Cy2x(xN*) Dy(xN*)答案D2下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(
10、枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A指数函数：y2t B对数函数：ylog2tC幂函数：yt3 D二次函数：y2t2答案A解析由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以该函数模型应为指数函数3某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有亏损 B略有盈利C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况答案A解析由题意可得(110%)3(110%)30.970 299
11、0.971.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数vlog3，单位是m/s，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是_m/s.答案解析当O2 700时，vlog3log3log327(m/s)1某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()Ay2t By2t2Cyt3 Dylog2t答案D2某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了7
12、90台，则下列函数模型中，能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1x4，xN*)之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100x答案C解析将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应3某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为yx212x10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为()A5元 B6元 C7元 D26元答案B解析yx212x10(x6)226，所以当x6时，y取最大值26.4在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系
13、式yx40，其中20x0，且a1)，以下叙述中正确的是()A这个指数函数的底数是2B第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2C浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月D浮萍每个月增加的面积都相等答案AC解析将点(1,2)代入yat中，得a2，所以y2t，所以A正确；当t5时，y25320，所以x，所以x，因为lg 108lg(3322)3lg 32lg 2，所以x14.3，故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上11某公司职工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要
14、使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在()AA区 BB区CC区 DA，B两区之间答案A解析由题意得，若停靠在A区，所有员工路程和为15100103004 500(米)；若停靠在B区，所有员工的路程和为30100102005 000(米)；若停靠在C区，所有员工的路程和为303001520012 000(米)；若停靠点在A区和B区之间，设距离A区为x米，所有员工的路程和为30x15(100x)10(100200x)5x4 500，当x0时取得最小值，故停靠点为A区综上，若停靠点为A区，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在A区12某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储
15、藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192 h，在22 的保鲜时间是48 h，则该食品在33 的保鲜时间是()A16 h B20 h C24 h D26 h答案C解析由题意可知，当x0时，y192；当x22时，y48，解得则当x33时，ye33kb(e11k)3eb319224.13一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效()(附：lg 20
16、.301 0，lg 30.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1 h)A2.3 B3.5C5.6 D8.8答案A解析设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效则2 5000.8x1 500，即0.8x0.6，所以lg 0.8xlg 0.6，即xlg 0.8lg 0.6，x2.3.14光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为_(lg 20.301 0，lg 30.477 1)答案7解析设至少需要x块玻璃板，由题意知x，即x，两边取对数lgxlg ，即x(lg 9lg 10)lg 2，x6.57，x7.15为了预防某种病
17、毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y 函数的图象如图所示如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是()A9：00 B8：40C8：30 D8：00答案A解析根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1a1，解得a1，所以y令y0.25，可得0.1t0.25或0.25，解得0t2.5或t30，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始
18、喷洒药物的时间最迟是9：00.16“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系式f(x)(x0)，树木栽种时的高度为米，1年后，树木的高度达到米(1)求f(x)的解析式；(2)问从栽种之日起，第几年树木生长最快？解(1)由已知得即所以解得k1，b4，所以f(x)(x0)(2)令xN，g(x)f(x1)f(x).问题化为当xN时，求函数g(x)的最大值又g(x)41(2)当且仅当3x37x，即x时，上式取等号，又xN，所以g(3)g(4)，故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长最快
