1、1.4.1充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题导语不知道大家有没有这样的经历，在初中的某次考试没有考好，父母就着急了，说：“初中不好好学习就考不上高中，考不上高中就考不上大学，考不上大学就找不到工作，找不到工作就实现不了自己的人生价值那么，你这一辈子就完了！”大家同意这么糟糕的说法吗？静下心来想想，一次没有考好，跟后面这些事情有关系吗？把几乎没有关系的两件事情理解成了充分条件，让你们的父母徒增烦恼，当然你们也有了不小的压力，所以，大家要好好学习这节课，这样你就能解决你父母的烦恼了
2、！一、充分条件与必要条件问题观察下面几个命题，你能把它们变成“若p，则q”的形式吗？你能得到什么？(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)平行四边形的两组对边分别相等；(5)平行四边形的一组对边平行且相等；(6)平行四边形的两条对角线互相平分提示(1)若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形(2)若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形(3)若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形(4)若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等(5)若四边形是平行
3、四边形，则四边形的一组对边平行且相等(6)若四边形是平行四边形，则四边形的两条对角线互相平分由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一知识梳理充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件注意点：(1)前提pq，有方向，条件在前，结论在后(2)若pq，则p是q的充
4、分条件或q是p的必要条件(3)“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q的一个充分条件是p”，“p的一个必要条件是q”，说的是同一个意思例1(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？在ABC中，p：BC，q：ACAB；已知x，yR，p：x1，q：(x1)(x2)0；已知xR，p：x1，q：x2.解在ABC中，由大角对大边知，BCACAB，所以p是q的充分条件由x1(x1)(x2)0，故p是q的充分条件方法一由x1x2，所以p不是q的充分条件方法二设集合Ax|x1，Bx|x2，所以BA，所以p不是q的充分条件(2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线
5、相等；p：AB，q：ABA；p：ab，q：acbc.解因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件因为pq，所以q是p的必要条件因为pq，所以q不是p的必要条件反思感悟充分、必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若pq为真，则p是q的充分条件，若qp为真，则p是q的必要条件(2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“xA”，条件乙“xB”若AB，则甲是乙的必要条件跟踪训练1分析下列各项中p与q的关系(1)p：为锐角，q：45.(2)p：(x1)(x2)0，q：x10.解(1)由于qp，pq，故p是q的必要条件，q是p的
6、充分条件(2)由于qp，pq，故p是q的必要条件，q是p的充分条件二、充分条件与必要条件的应用例2已知集合Px|2x4，Qx|3m2x5m2，mR若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围解由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集当3m25m2，即m2时，Q，满足题意，当3m25m2，即m2时，由题意得解得0m，综上，m的取值范围是.延伸探究已知集合Px|2x1，Qx|3m2x5m2，mR若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围解由题意得，P是Q的子集，则解得m0.反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：先
7、把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解跟踪训练2已知Px|a4xa4，Qx|1x3成立的一个充分条件是()Ax4 Bx0Cx2 Dx4x3，其他选项均不可推出x3.4若“x1”是“xa”的充分条件，则a的取值范围是_答案a1解析因为x1xa，所以a1.1下列命题中，p是q的充分条件的是()Ap：ab0，q：a0Bp：a2b20，q：a0且b0Cp：x21，q：x1Dp：ab，q：答案A解析根据充分条件的概念逐一判断，只有ab0a0.2使x1成立的一个必要条件是()Ax0 Bx3 Cx2 Dx1x0，其他选项均不可由x1推出3已知集合A3，
8、m，B1,3,5，则m1是AB的()A充分条件B必要条件C既不是充分条件也不是必要条件D既是充分条件又是必要条件答案A解析若AB，则有mB且m3，所以m1或m5，故当m1时，有AB，而AB时，m不一定是1，故m1是AB的充分条件，不是必要条件4下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是()A若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PAPBB若x是无理数，则x2也是无理数C若xy，则x2y2D若x2y2，则xy答案A解析线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A正确；若x，则x22，故B不成立；若x1，y2，故C结论不成立；若x2，y1，故D结论不成立5(多选)下列说法不正确的
9、是()A“x5”是“x4”的充分条件B“xy0”是“x0且y0”的充分条件C“2x2”是“x2”的必要条件Dx23x20是x1的必要条件答案BC解析B中由xy0不能推出x0且y0，故B不正确；C中“2x2”是“x0成立的充分条件是()Aa0，b0 Bab0Ca0，b1，b1答案ACD解析因为a0，b0ab0；a0，b0；a1，b1ab0，所以选项A，C，D都是使ab0成立的充分条件7设集合A1,2，(1)请写出一个集合B_，使“xA”是“xB”的充分条件，但“xA”不是“xB”的必要条件；(2)请写出一个集合B_，使“xA”是“xB”的必要条件，但“xA”不是“xB”的充分条件答案B1,2,3
10、(答案不唯一)B1(答案不唯一)8条件p：2x0，条件q：xa，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_答案a|a2解析p：x2，若p是q的充分条件，则pq，即p对应集合是q对应集合的子集，故a2.9指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x22x1，q：x；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解(1)x22x1x，xx22x1，p是q的必要条件(2)a2b20ab0ab0，ab0a2b20，p是q的充分条件(3)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0(x1)2(y2)20，p是q的充分条件10已知p：
11、1x3，若ax1b恒成立的实数b的取值范围解由于p：1x3，又由ax1a，得1ax1a，依题意，得x|1x3x|1axb恒成立的实数b的取值范围是b|b2Cx2y22 Dxy1答案B解析对于选项A，当x1，y1时，满足xy2，但命题不成立；对于选项C，D，当x2，y3时，满足x2y22，xy1，但命题不成立，也不符合题意12集合Ax|1x1，Bx|axba若“a1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是()Ab|2b0 Bb|0b2Cb|2b2 Db|2b2答案C解析Ax|1x1，Bx|axbax|baxba因为“a1”是“AB”的充分条件，所以1b11或1b11，即2b2.13设甲、乙、
12、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件14已知p：x10，q：x1a(a0)若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为_答案a|a9解析p是q的必要条件，qp，解得a9.15“一元二次方程x2ax10有两个正实数根”的一个充分条件可以为_；一个必要条件可以为_答案a3(答案不唯一)a1(答案不唯一)解析因为一元二次方程x2ax10有两个正实数根，所以解得a2.故一元二次方程x2ax10有两个正实数根的一个充分条件可以为a3；一元二次方程x2ax10有两个正实数根的一个必要条件可以为a1.16(1)是否存在实数m，使2xm0是x3的充分条件？(2)是否存在实数m，使2xm0是x3的必要条件？解(1)欲使2xm0是x3的充分条件，则只要x|x3，即只需1，所以m2.故存在实数m2，使2xm0是x3的充分条件(2)欲使2xm0是x3的必要条件，则只要x|x3，这是不可能的故不存在实数m，使2xm0是x3的必要条件
