1、1.4.2充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明导语同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！一、充要条件问题1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若
2、一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，则ac0；(4)若AB是空集，则A与B均是空集提示不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题问题2你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？提示首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题
3、为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件知识梳理如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件注意点：充要条件的判断方法：确定哪个是条件，哪个是结论；尝试用条件推结论；再尝试用结论推条件；最后判断条件是结论的什么条件例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)(1)p：x1，q：x1；(2)p：1x5，q：x1且x5；(3)p：x2y，q：(x2)2y2；(4)p：a是自然数；q：a是正
4、数解(1)当x1时，x1成立；当x1时，x1或x2.p是q的充分不必要条件(2)1x5x1且x5，p是q的充要条件(3)由q：(x2)2y2，得x2y且x2y，又p：x2y，故p是q的必要不充分条件(4)0是自然数，但0不是正数，故pq；又是正数，但不是自然数，故qp.故p是q的既不充分也不必要条件反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假(2)集合法：即利用集合的包含关系判断(3)等价法：即利用pq与qp的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2
5、pn，可得p1pn；充要条件也有传递性跟踪训练1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：O内两条弦相等，q：O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：AB，q：A与B之一为空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件二、充要条件的证明例2求证：一元二次方程ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0，且x1x20，ac0.充分性：由ac0及x1x
6、20，方程ax2bxc0(a0)有一正一负两实根综上，一元二次方程ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|00)因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以或解得m9，即实数m的取值范围为m|m92本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解因为p：2x
7、10，q：1mx1m(m0)若p是q的充要条件，则m不存在故不存在实数m，使得p是q的充要条件反思感悟应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解跟踪训练3在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由问题：已知集合Ax|0x4，集合Bx|1ax1a(a0)，是否存在实数a，使得xA是xB成立的_？解由题意知Ax|0x4，若选，则A是B的真子集
8、，所以1a0且1a4(两等号不能同时取得)，又a0，解得a3，所以a存在，且a的取值集合Ma|a3若选，则B是A的真子集，所以1a0且1a4(两等号不能同时取得)，又a0，解得0a1，所以a存在，且a的取值集合Ma|00，方程组无解，所以不存在满足条件的a.1知识清单：(1)充要条件概念的理解(2)充要条件的证明(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用2方法归纳：等价转化3常见误区：条件和结论辨别不清1“x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由“x0”“x0”，反之不一定成立因此“x0”是“x0”的充分不必要条件2“x24x50”是
9、“x5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由x24x50得x5或x1，则当x5时，x24x50成立，但当x24x50时，x5不一定成立因此“x24x50”是“x5”的必要不充分条件3“ab”是“1”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案D4函数yx2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_答案m2解析函数yx2mx1的图象关于直线x1对称，则1，即m2；反之，若m2，则yx22x1的图象关于直线x1对称1“1x2”是“x2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析设Ax|
10、1x2，Bx|x2，AB.故“1x2”是“x2”的充分不必要条件2“x1”是“x22x10”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若x1，则x22x10；若x22x10，即(x1)20，则x1.故“x1”是“x22x10”的充要条件3设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.当x2时不一定有0x2，而当0x2时一定有x2，“2x0”是“|x1|1”的必要不充分条件4已知a，b是实数，则“a0，且b0”的()A充分不必要条件 B必要不充
11、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析已知a，b是实数，则若a0，且b0，比如当ab0时，ab(ab)0，则ab和ab同号，当ab0时满足ab(ab)0，当ba0，故不能确定a和b的正负故是既不充分也不必要条件5(多选)下列选项中正确的是()A点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在O外的充要条件B两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件CABA是BA的必要不充分条件Dx或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件答案AD6(多选)使“xx|x0或x2”成立的一个充分不必要条件是()Ax0 Bx2Cx1,3,5 Dx0或x2答案BC解析从集合的角度出发，在选项中判断
12、哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意7已知ABC，A1B1C1，两三角形对应角相等是ABCA1B1C1的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析由两三角形对应角相等ABCA1B1C1；反之由ABCA1B1C1AA1，BB1，CC1.8对于集合A，B及元素x，若AB，则xB是xAB的_条件答案充要解析由xB，显然可得xAB；反之，由AB，则ABB，所以由xAB可得xB，故xB是xAB的充要条件9求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明充分性：因为abc0，所以cab，代入方程ax2bxc0，得ax2bxab0，即(x
13、1)(axab)0.所以方程ax2bxc0有一个根为1.必要性：因为方程ax2bxc0有一个根为1，所以x1满足方程ax2bxc0，所以a12b1c0，即abc0.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.10设命题p：x1；命题q：axa1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解设A，Bx|axa1，由p是q的充分不必要条件，可知AB，或解得0a，故所求实数a的取值范围是0a.11设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是()答案C解析对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“
14、灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件12已知xR，则“x2x6”是“x”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由于“x2x6”，则“x”，故“x2x6”是“x”的必要不充分条件13. 集合A，B之间的关系如图所示，p：aUB，q：aA，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由图可知A是B的补集的真子集，则p是q的必要不充分条件14已知“p：xm3或xm”是“q：4x1”成立的必要不充分条件，则实数m
15、的取值范围是_答案m7或m1解析因为p是q成立的必要不充分条件，所以m34或m1，故m7或m1.15“已知四边形ABCD且A，B，C，D四点共圆”是“AC180”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C16求证：关于x的方程ax22x10只有一个负实数根的充要条件是a1或a0.证明(1)充分性：当a1时，方程ax22x10的实根是x1x21，只有一个负实数根；当a0时，方程ax22x10只有一个负实根是x；当a0时，方程ax22x10的判别式44a0，且x1x20，方程两根一正一负所以当a1或a0时，关于x的方程ax22x10只有一个负实数根(2)必要性：若方程ax22x10只有一个负实数根，则当a0时，x，符合题意当a0时，方程ax22x10有实根，44a0，解得a1；当a1时，方程的解为1，符合题意；当a1且a0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，则x1x20，即a0.所以当关于x的方程ax22x10只有一个负实数根时，a1或a0.综上，关于x的方程ax22x10只有一个负实数根的充要条件是a1或a0.
