1、第第 3 节节 两角和与差两角和与差及二倍角的三角函数及二倍角的三角函数 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； 2.能利用两角差的余弦 公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正 弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联 系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角 公式，但对这三组公式不要求记忆). 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( )sin_cos_ cos_sin_. cos()cos_cos_ sin_sin_. tan( ) tan tan 1ta
2、n tan . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 22sin_cos_. cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 2 2tan 1tan2. 3.函数 f()asin bcos (a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin( ) 其中tan b a 或 f()a2b2 cos() 其中tan a b . 微点提醒 1.tan tan tan( )(1tan tan ). 2.cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2， sin cos 2sin 4 . 基 础 自 测
3、1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的.( ) (2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立.( ) (3)公式 tan() tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1 tan tan )，且对任意角 ， 都成立.( ) (4)存在实数 ，使 tan 22tan .( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的 ， 都成立， 2k(kZ). 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P135A4(3)改编)若 cos 4 5， 是第三象限的角， 则 sin 4 等于( ) A. 2
4、10 B. 2 10 C.7 2 10 D.7 2 10 解析 是第三象限的角， sin 1cos23 5， sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 答案 C 3.(必修 4P121 例 4 改编)tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 _. 解析 tan 60 tan(20 40 ) tan 20 tan 40 1tan 20 tan 40 ， tan 20 tan 40 tan 60 (1tan 20 tan 40 ) 3 3tan 20 tan 40 ， 原式 3 3tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 3. 答案 3 4.(2
5、018 全国卷)若 sin 1 3，则 cos 2( ) A.8 9 B.7 9 C.7 9 D.8 9 解析 因为 sin 1 3，cos 212sin 2， 所以 cos 212 1 3 2 12 9 7 9. 答案 B 5.(2019 南昌一模)已知角 的终边经过点 P(sin 47 ，cos 47 )，则 sin(13 ) ( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 解析 由三角函数定义，sin cos 47 ，cos sin 47 ， 则 sin(13 )sin cos 13 cos sin 13 cos 47 cos 13 sin 47 sin 13 cos(47
6、13 )cos 60 1 2. 答案 A 6.(2018 全国卷)已知 tan 5 4 1 5，则 tan _. 解析 tan 5 4 tan tan 5 4 1tan tan 5 4 tan 1 1tan 1 5， 解得 tan 3 2. 答案 3 2 考点一 三角函数式的化简 【例 1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin()_. (2)化简： （1sin cos ） cos 2sin 2 22cos (0)_. 解析 (1)sin()cos()cos()sin() sin()cos ()cos()sin() sin()()sin(). (2)原式 （2cos2 22sin
7、2cos 2） （cos 2sin 2） 4cos2 2 cos 2（cos 2 2sin 2 2） cos 2 cos 2cos cos 2 . 因为 0，所以 0 20，所以原式cos . 答案 (1)sin() (2)cos 规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公 式，常见的有“切化弦” ；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式 要通分” 、 “遇到根式一般要升幂”等. 2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升 幂等. 【训练 1】 (1
8、)cos()cos sin()sin ( ) A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos (2)化简： 2cos42cos21 2 2tan 4 sin 2 4 _. 解析 (1)cos()cos sin()sin cos()cos . (2)原式 1 2（4cos 44cos21） 2sin 4 cos 4 cos2 4 （2cos21）2 4sin 4 cos 4 cos22 2sin 22 cos22 2cos 2 1 2cos 2. 答案 (1)D (2)1 2cos 2 考点二 三角函数式的求值 多维探究 角度 1 给角(值)求值 【例 21】 (1)计算：cos 1
9、0 3cos（100 ） 1sin 10 _. 解析 cos 10 3cos（100 ） 1sin 10 cos 10 3cos 80 1cos 80 cos 10 3sin 10 2 sin 40 2sin（10 30 ） 2 sin 40 2. 答案 2 (2)(2018 江苏卷)已知 ， 为锐角，tan 4 3，cos() 5 5 . 求 cos 2 的值； 求 tan()的值. 解 因为 tan 4 3，tan sin cos ， 所以 sin 4 3cos . 因为 sin2cos21，所以 cos2 9 25， 因此，cos 22cos21 7 25. 因为 ， 为锐角，所以 (0
10、，). 又因为 cos() 5 5 ， 所以 sin() 1cos2（）2 5 5 ， 因此 tan()2. 因为 tan 4 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此，tan()tan2() tan 2tan（） 1tan 2tan（） 2 11. 角度 2 给值求角 【例 22】 (1)(2019 河南六市联考)已知 cos 1 7，cos() 13 14，若 0 2， 则 _. (2)已知 ，(0，)，且 tan()1 2，tan 1 7，则 2 的值为_. 解析 (1)由 cos 1 7，0 2， 得 sin 1cos21 1 7 2 4 3 7 . 由 0 2，
11、得 00， 又 (0，)，00， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 答案 (1) 3 (2) 3 4 规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其 角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. 2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的 范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、 余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；若角 的范围是(0，)，选
12、余弦较好；若角的范围为 2， 2 ，选正弦较好. 【训练 2】 (1)(2019 合肥模拟)tan 70 cos 10 ( 3tan 20 1)等于( ) A.1 B.2 C.1 D.2 (2)已知 ， 为锐角，cos 1 7，且 sin() 5 3 14 ，则角 _. (3)若 2cos 2 cos 4 3 sin 2，则 sin 2( ) A.1 3 B.2 3 C.2 3 D.1 3 解析 (1)tan 70 cos 10 ( 3tan 20 1) sin 70 cos 70 cos 10 3 sin 20 cos 20 1 cos 20 cos 10 sin 20 3sin 20 co
13、s 20 cos 20 cos 10 2sin（20 30 ） sin 20 sin 20 sin 201. (2) 为锐角，且 cos 1 7， sin 1 1 7 2 4 3 7 . ， 0， 2 ，0. 又sin() 2， cos()11 14. cos cos()cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 49 98 1 2. 3. (3)由题意知2（cos 2sin2） cos sin 3sin 2， 2(cos sin ) 3sin 2，则 4(1sin 2)3sin22， 因此 sin 22 3或 sin 22(舍). 答案 (1)C (2)
14、 3 (3)C 考点三 三角恒等变换的简单应用 【例 3】 (2019 郑州模拟)设函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x 的图 像关于直线 x 对称，其中 ， 为常数，且 1 2，1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 yf(x)的图像经过点 4，0 ，求函数 f(x)在区间 0，3 5 上的最值. 解 (1)f(x)sin2x2 3sin x cos xcos2x 3sin 2xcos 2x 2sin 2x 6 . 因为图像关于直线 x 对称， 所以 2 6 2k(kZ)， 所以 k 2 1 3(kZ)，又 1 2，1 ， 令 k1 时，5 6符合要求
15、， 所以函数 f(x)的最小正周期为 2 25 6 6 5 . (2)因为 f 4 0， 所以 2sin 25 6 4 6 0，则 2. 所以 f(x)2sin 5 3x 6 2. 由 0x3 5，知 6 5 3x 6 5 6， 当5 3x 6 6，即 x0 时，f(x)取最小值1 2. 当5 3x 6 2，即 x 2 5 时，f(x)取最大值 2 2. 规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角 之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如 yasin xbcos x 化为 ya2b2sin(x)，可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性. 【训练
16、3】 (2017 北京卷)已知函数 f(x) 3cos 2x 3 2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求证：当 x 4， 4 时，f(x)1 2. (1)解 f(x) 3cos 2x 3 2sin xcos x 3 2 cos 2x3 2sin 2xsin 2x 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 ， 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)证明 由(1)知 f(x)sin 2x 3 . x 4， 4 ，2x 3 6， 5 6 ， 当 2x 3 6，即 x 4时，f(x)取得最小值 1 2. f(x)1 2成立. 思维升华 1.重视三
17、角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角： 对角的分拆要尽可能化成同角、 特殊角； (2)变名： 尽可能减少函数名称； (3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题 的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 易错防范 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注 意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通. 2.在(0，)范围内，sin 2 2 所对应的角 不是唯一的. 3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角
18、的三角函 数的名称. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2016 全国卷)若 tan 1 3，则 cos 2( ) A.4 5 B.1 5 C.1 5 D.4 5 解析 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 4 5. 答案 D 2.(2019 广东省际名校联考)若 cos 3 4 5，则 cos 32 ( ) A.23 25 B.23 25 C. 7 25 D. 7 25 解析 cos 3 4 5， cos 3 sin 2 3 sin 6 4 5， cos 32 12sin 2 6 7 25. 答案 D 3. sin 1
19、0 1 3tan 10 ( ) A.1 4 B.1 2 C. 3 2 D.1 解析 sin 10 1 3tan 10 sin 10 cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin（30 10 ） 1 4. 答案 A 4.(2019 信阳一模)函数 f(x)3sin x 2cos x 24cos 2x 2(xR)的最大值等于( ) A.5 B.9 2 C.5 2 D.2 解析 由题意知 f(x)3 2sin x4 1cos x 2 3 2sin x2cos x2 5 2sin(x)2 其中tan 4
20、3 ， 又因为 xR，所以 f(x)的最大值为9 2. 答案 B 5.(2019 榆林模拟)若 sin A 4 7 2 10 ，A 4， ，则 sin A 的值为( ) A.3 5 B.4 5 C.3 5或 4 5 D.3 4 解析 A 4， ，A 4 2， 5 4 ， cos A 4 0， 且 cos A 4 1sin2 A 4 2 10， sin Asin A 4 4 sin A 4 cos 4cos A 4 sin 4 4 5. 答案 B 二、填空题 6.(2017 江苏卷)若 tan 4 1 6，则 tan _. 解析 tan tan 4 4 tan 4 tan 4 1tan 4 ta
21、n 4 1 61 11 6 7 5. 答案 7 5 7.化简：2sin（）sin 2 2cos2 2 _. 解析 2sin（）sin 2 2cos2 2 2sin 2sin cos 1cos 2sin （1cos ） 1cos 2sin . 答案 2sin 8.(2017 全国卷)已知 0， 2 ，tan 2，则 cos 4 _. 解析 由 tan 2 得 sin 2 cos ， 又 sin 2cos21，所以 cos21 5. 因为 0， 2 ，所以 cos 5 5 ，sin 2 5 5 . 因为 cos 4 cos cos 4sin sin 4， 所以 cos 4 5 5 2 2 2 5
22、5 2 2 3 10 10 . 答案 3 10 10 三、解答题 9.(2018 浙江卷)已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它 的终边过点 P 3 5， 4 5 . (1)求 sin()的值； (2)若角 满足 sin() 5 13，求 cos 的值. 解 (1)由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 ， 得 sin 4 5， 所以 sin()sin 4 5. (2)由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 ，得 cos 3 5， 由 sin() 5 13，得 cos() 12 13. 由 () 得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 56 6
23、5或 cos 16 65. 10.已知函数 f(x)(2cos2x1) sin 2x1 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若 (0，)，且 f 4 8 2 2 ，求 tan 3 的值. 解 (1)f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x cos 2xsin 2x1 2cos 4x 1 2(sin 4xcos 4x) 2 2 sin 4x 4 ， f(x)的最小正周期 T 2. 令 2k 24x 42k 3 2(kZ)， 得k 2 16x k 2 5 16(kZ). f(x)的单调递减区间为 k 2 16， k 2 5 16 (kZ). (2
24、)f 4 8 2 2 ，即 sin 4 1. 因为 (0，)， 4 4 3 4 ， 所以 4 2，故 3 4 . 因此 tan 3 tan3 4 tan 3 1tan3 4 tan 3 1 3 1 3 2 3. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019 江西八所重点中学联考)若点(，0)是函数 f(x)sin x2cos x 图像的一个 对称中心，则 cos 2sin cos( ) A.11 10 B.11 10 C.1 D.1 解析 点(，0)是函数 f(x)sin x2cos x 图像的一个对称中心， sin 2cos 0，即 tan 2. cos 2sin cos cos
25、 2sin2sin cos sin2cos2 1tan 2tan tan21 142 41 1. 答案 D 12.(一题多解)(2019 河北百校联盟联考)已知 是第四象限角，且 sin 4 3 5， 则 tan 4 ( ) A.4 3 B.4 3 C.3 4 D.3 4 解析 法一 sin 4 2 2 (sin cos )3 5， sin cos 3 2 5 ， 2sin cos 7 25. 是第四象限角，sin 0， sin cos 12sin cos 4 2 5 ， 由得 sin 2 10，cos 7 2 10 ，tan 1 7， tan 4 tan 1 1tan 4 3. 法二 4 4
26、 2， sin 4 cos 4 3 5， 又 2k 22k(kZ)， 2k 4 42k 4(kZ)， cos 4 4 5，sin 4 4 5， tan 4 sin 4 cos 4 4 3， tan 4 tan 4 4 3. 答案 B 13.(一题多解)设 cos 5 5 ，tan 1 3， 3 2 ，0 2，则 _. 解析 法一 由 cos 5 5 ，3 2 ， 得 sin 2 5 5 ，tan 2，又 tan 1 3， 于是 tan() tan tan 1tan tan 21 3 121 3 1. 又由 3 2 ，0 2可得 20， 2 3 2 ，因此，5 4 . 法二 由 cos 5 5
27、，3 2 得 sin 2 5 5 . 由 tan 1 3，0 2得 sin 1 10，cos 3 10. 所以 sin()sin cos cos sin 2 5 5 3 10 5 5 1 10 2 2 . 又由 3 2 ，0 2，得 20， 2 3 2 ，因此，5 4 . 答案 5 4 14.已知函数 f(x) a2cos2x 2 cos(x)为奇函数， 且 f 2 0， 其中 aR， (0， ). (1)求 a， 的值； (2)若 2， ，f 2 8 2 5cos 4 cos 20，求 cos sin 的值. 解 (1)因为 f(x) a2cos2x 2 cos(x)是奇函数， 所以 a2c
28、os2x 2 cos(x) a2cos2x 2 cos()x ， 化简、整理得，cos xcos 0，则有 cos 0， 由 (0，)，得 2， 所以 f(x)sin x a2cos2 x 2 . 由 f 2 0，得(a1)0，即 a1. (2)由(1)知 f(x)1 2sin 2x， f 2 8 2 5cos 4 cos 20sin 4 4 5cos 4 cos 2， 因为 cos 2sin 2 2 sin 2 4 2sin 4 cos 4 ， 所以 sin 4 8 5cos 2 4 sin 4 . 又 2， ， 所以 sin 4 0 或 cos2 4 5 8. 由 sin 4 03 4 ， 所以 cos sin cos 3 4 sin 3 4 2； 由 cos2 4 5 8， 3 4 4 5 4 ， 得 cos 4 5 2 2 1 2(cos sin ) 5 2 2cos sin 5 2 . 综上，cos sin 2或 cos sin 5 2 .
