1、小结与复习第十七章 勾股定理要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点梳理要点梳理1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件一、勾股定理 3.勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2,b2c2a2，222222,cabacbbcaABC cab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数3.原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做
2、原命题，另一个叫做它的逆命题.ABC cab例1 在ABC中，已知BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解解：B90，b是斜边，则在RtABC中，由勾股定理，得又SABC bBD ac，2222437,cba673 7.84acBDb1212考点讲练考点讲练考点一 勾股定理及其应用ACB 43D 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰方法总结
3、1已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或25针对训练D例2 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；沿ABB1A1和BCC1B1面；沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上
4、的两点之间线段最短”求解 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况方法总结针对训练2.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长 方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（）DA.B.C.D.5293721 例3 已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，在直角ABC中，AC为直角边，AC=24米，已知AD=4米，则CD=24-4=20（米），在直角CDE中，CE为直角边，CE=15（米），BE=15-7=8（米）故选CA4米
5、 B6米 C8米 D10米22ABBC22DECDC针对训练3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？在RtABO中，由题意知OA2米，DCOB1.4米，所以AB2221.422.04.因为42.61.4，1.421.96，2.041.96，所以卡车可以通过答：卡车可以通过，但要小心解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.例4 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，
6、an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形【解析】要证C90，只要证ABC是直角三角形，并且c边最大根据勾股定理的逆定理只要证明a2b2c2即可考点二 勾股定理的逆定理及其应用解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21，c2(n21)2 n42n21，从而a2b2c2，故可以判定ABC是 直角三角形 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；分别用代数方法计算出a2b2和c2的值(c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形方法总结4.下列各组数中，是勾股数的为（）A1，2，3 B4
7、，5，6C3，4，5D7，8，95.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有_针对训练(2)(4)C例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=16（n mile）,乙船航行的距离为BP=30（n mile）162+302=1156，342=1156,BM2+BP2=MP2,MBP为直角三角形，MBP=90,乙船是沿着南偏东30方向航行的
8、6.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m.则这块地的面积为 .ABC341312D针对训练解析：连接AC.由AD=4m，CD=3m，ADC=90，可得AC=5m.再由AB=13m，BC=12m，可知ABC是直角三角形.于是这块地的面积为(125-34)2=24(cm2)24cm2考点三 勾股定理与折叠问题例6 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.问题：1.由AB=8，BC=10，你可以知道哪些线段长？2.在RtDFC中，你可以求出DF的长吗？3.由DF的长，你还可以求出哪条线
9、段长？4.设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？解:由折叠可知FC=BC=10，BE=FE.在长方形ABCD中，DC=AB=8，AD=BC=10，D=90.DF=6，AF=4.设BE=FE=x，则AE=8-x.在RtAFE中，由勾股定理得 ，解得 x=5.BE的长为5.2224(8)xx方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解针对训练7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 1.75cm课堂小结课堂小结勾股定理直角三角形边长的数量关系勾股定理的逆定理直角三角形的判定互逆定理
