1、第第10讲讲 导数导数(含积分含积分)的运算与应用的运算与应用知识梳理知识梳理基础练习基础练习能力提升能力提升【考纲下载考纲下载】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间单调区间(其中多项式函数一般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值极小值(其中多项式函数一般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小；会求闭区间上函
2、数的最大值、最小值值(其中多项式函数一般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次)3会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题.4.会计算常见函数的定积分，利用定积分会求曲边图形的面积会计算常见函数的定积分，利用定积分会求曲边图形的面积.()0,fx()0fx 0()()f xf x0()()f xf xBReturnReturn (高考命题研究专家原创卷高考命题研究专家原创卷)已知已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数求函数f(x)在在t，t2(t0)上的最小值；上的最小值；(2)对一切对一切x(0，),2f(x)g(x)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围；的
3、取值范围；(3)证明对一切证明对一切x(0，)，都有都有ln x 成立成立 思路点拨：思路点拨：(1)求出求出f(x)，对，对t进行讨论，进行讨论，(2)列出列出a的不等式，求的不等式，求a的取值范围的取值范围转化成求函数的最值，转化成求函数的最值，(3)把不等式把不等式ln x 转化成转化成xln x .证明证明xln x的最小值不小于的最小值不小于 的最大值的最大值解：解：(1)f(x)ln x1，令令f(x)0，则，则x .当当x 时时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增当当0t t2，即即0t 时时，f(x)minf()；当当 t0)，则，则h(x).当当x(0,1)时，时，h(x)
4、0，h(x)单调递增所以单调递增所以h(x)minh(1)4.因为对一切因为对一切x(0，),2f(x)g(x)恒成立，所以恒成立，所以ah(x)min4.(3)问题等价于证明问题等价于证明xln x (x(0，)，由由(1)知知f(x)xln x(x(0，)的最小值是的最小值是 ，当且仅当，当且仅当x 时取到设时取到设m(x)(x(0，)，则，则m(x)，易得，易得m(x)maxm(1)，当，当且仅当且仅当x1时取到从而对一切时取到从而对一切x(0，)，都有，都有ln x 成立成立导数的应用举例导数的应用举例证证:(1)x1 时时,g(x)0,g(x)在在(1,+)上为增函数上为增函数.又又
5、 g(x)在在 x=1 处连续处连续,f(x)=lnx2.已知函数已知函数 f(x)=lnx.(1)求证求证:当当 1xe2 时时,有有 xa0 时时,恒有恒有 ax .x-a 2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a 22-f(x)2+f(x)要证要证 x 成立成立.x+1 2(x-1)记记 g(x)=lnx-.x+1 2(x-1)则则 g(x)=-(x+1)2 4 1x只要证明只要证明 x(2-lnx)g(1)=0.lnx 成立成立.x+1 2(x-1)当当 1xe2 时时,有有 x 成立成立.2-f(x)2+f(x)成立成立.x+1 2(x-1)当当 xa0 时时,1,axln
6、.axax+12(-1)ax lnx-lna .x+a 2(x-a)lnx-lna x-a ,x+a 2记记 h(x)=lnx-,x x-1 则则 h(x)=x x-(x-1)2 12x-a f(x)-f(a)即即 .x+a 2h(x)h(1)=0.对任意的对任意的 x(1,+),都有都有 lnx .x x-1 x-a f(x)-f(a)同理可证同理可证 ax .x+a 2 ax .x-a f(x)-f(a)导数的应用举例导数的应用举例 已知函数已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为的定义域为 m,n),且且 1mn 2.(1)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明
7、:对任意对任意 x1,x2 m,n),不等不等式式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.xmnx(1)解解:f(x)=(-1)2+(-1)2xmnx=+-+2,m2 x2x2n22xm2nxf(x)=-+m2 2xx32n22m2nx2m2x3 2=(x4-m2n2-mx3+m2nx)m2x3 2=(x2-mx+mn)(x+mn)(x-mn)1mx0,m2x3 2x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+mn 0.由由 f(x)0 得得 mx0 得得 mn xn.f(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函数上是增函数.另解另解:由题设由题设 f(x)
8、=(+-1)2-+1.xmnx2nm令令 t=+,xmnx1m2,t=-.1mx2n由由 t 0 得得 mx0 得得 mn xn.t(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函数上是增函数.函数函数 y=(t-1)2-+1 在在 1,+)上是增函数上是增函数,2nmf(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函数上是增函数.对任意的对任意的 x1,x2 m,n),有有(2)证证:由由(1)知知 f(x)在在 m,n)上的最小值为上的最小值为 f(mn)=2(-1)2,nm最大值为最大值为 f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|(-1
9、)2-2(-1)2 nmnm=()2-4 +4 -1.nmnmnm令令 u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm1mn2,1 2.nm10,5+125-12h(u)在在(1,2 上是增函数上是增函数.=4 2-5.故对任意故对任意 x1,x2 m,n),|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.h(u)h(2)=4-8+4 2-1 变式：变式：2 (1)()422()1,1()0 1,1.220 1,1 1fxaxxf xfxxxaxx 在上是增函，对恒成立即对恒成立 解析解析 20()2 12(1)1200012(1)1201011.axxaxaaaaaa 设或或.11|,0)
10、1(,10)1(,1,1,1 aaAfafax时时以以及及当当时时只只有有当当对对.02,08.020:,312324)2(22122332的两个非零实根的两个非零实根是方程是方程或或得得由由 axxxxaaxxxxxxaxx.02,08.020:,312324)2(22122332的两个非零实根的两个非零实根是方程是方程或或得得由由 axxxxaaxxxxxxaxx.02,08.020:,312324)2(22122332的两个非零实根的两个非零实根是方程是方程或或得得由由 axxxxaaxxxxxxaxx.02,08.020:,312324)2(22122332的两个非零实根的两个非零实根
11、是方程是方程或或得得由由 axxxxaaxxxxxxaxx2 1,102 .1,131,1,11.38,2222122212121恒成立恒成立对任意对任意即即恒成立恒成立对任意对任意当且仅当当且仅当恒成立恒成立及及对任意对任意要使不等式要使不等式从而从而 ttmmttmmtAaxxtmmaxxxxaxx2 1,102 .1,131,1,11.38,2222122212121恒成立恒成立对任意对任意即即恒成立恒成立对任意对任意当且仅当当且仅当恒成立恒成立及及对任意对任意要使不等式要使不等式从而从而 ttmmttmmtAaxxtmmaxxxxaxx2 1,102 .1,131,1,11.38,22
12、22122212121恒成立恒成立对任意对任意即即恒成立恒成立对任意对任意当且仅当当且仅当恒成立恒成立及及对任意对任意要使不等式要使不等式从而从而 ttmmttmmtAaxxtmmaxxxxaxx2 1,102 .1,131,1,11.38,2222122212121恒成立恒成立对任意对任意即即恒成立恒成立对任意对任意当且仅当当且仅当恒成立恒成立及及对任意对任意要使不等式要使不等式从而从而 ttmmttmmtAaxxtmmaxxxxaxx2 1,102 .1,131,1,11.38,2222122212121恒成立恒成立对任意对任意即即恒成立恒成立对任意对任意当且仅当当且仅当恒成立恒成立及及对
13、任意对任意要使不等式要使不等式从而从而 ttmmttmmtAaxxtmmaxxxxaxx2 1,102 .1,131,1,11.38,2222122212121恒成立恒成立对任意对任意即即恒成立恒成立对任意对任意当且仅当当且仅当恒成立恒成立及及对任意对任意要使不等式要使不等式从而从而 ttmmttmmtAaxxtmmaxxxxaxx.22|,1,11,.2202)1(02)1(22)(212222 mmmtAaxxtmmmmmmmgmmgtmmtg或或是是其其取取值值范范围围恒恒成成立立及及对对任任意意不不等等式式使使存存在在实实数数或或设设.22|,1,11,.2202)1(02)1(22)
14、(212222 mmmtAaxxtmmmmmmmgmmgtmmtg或或是是其取值范围其取值范围恒成立恒成立及及对任意对任意不等式不等式使使存在实数存在实数或或设设.22|,1,11,.2202)1(02)1(22)(212222 mmmtAaxxtmmmmmmmgmmgtmmtg或或是是其取值范围其取值范围恒成立恒成立及及对任意对任意不等式不等式使使存在实数存在实数或或设设.22|,1,11,.2202)1(02)1(22)(212222 mmmtAaxxtmmmmmmmgmmgtmmtg或或是是其取值范围其取值范围恒成立恒成立及及对任意对任意不等式不等式使使存在实数存在实数或或设设 法一法一
15、.22|,1,11,.2202)1(02)1(22)(212222 mmmtAaxxtmmmmmmmgmmgtmmtg或或是是其其取取值值范范围围恒恒成成立立及及对对任任意意不不等等式式使使存存在在实实数数或或设设.22|,1,11,.2202)1(02)1(22)(212222 mmmtAaxxtmmmmmmmgmmgtmmtg或或是是其其取取值值范范围围恒恒成成立立及及对对任任意意不不等等式式使使存存在在实实数数或或设设.,2202)1(002)1(02,02,0 22下下同同法法一一或或或或时时当当显显然然不不成成立立；时时当当 mmmmgmmmgmmm 法二法二.,2202)1(002
16、)1(02,02,0 22下下同同法法一一或或或或时时当当显显然然不不成成立立；时时当当 mmmmgmmmgmmm练习：练习：可作多少条切线。过点）设（的单调增区间；求函数求的一个极值点是已知)5,2(,1)()(3)()2()1(ln22)(21xxfxgxfbxbxxfx的取值范围。求轴有且仅有三个交点，的图像与若求函数的单调减区间；求的一个极值点是，且为常数、已知函数例bxxfyaxfxbabxaxxxf)()3()2(;)1()(3)(8ln6)(62的取值范围。求轴有且仅有三个交点，的图像与若求函数的单调减区间；求的一个极值点是，且为常数、已知函数例bxxfyaxfxbabxaxxx
17、f)()3()2(;)1()(3)(8ln6)(62变式：变式：的取值范围。求轴有且仅有三个交点，的图像与若求函数的单调减区间；求的一个极值点是，且为常数、已知函数例bxxfyaxfxbabxaxxxf)()3()2(;)1()(3)(8ln6)(62的取值范围。求轴有且仅有三个交点，的图像与若求函数的单调减区间；求的一个极值点是，且为常数、已知函数例bxxfyaxfxbabxaxxxf)()3()2(;)1()(3)(8ln6)(62的取值范围。求轴有且仅有三个交点，的图像与若求函数的单调减区间；求的一个极值点是，且为常数、已知函数例bxxfyaxfxbabxaxxxf)()3()2(;)1()(3)(8ln6)(62
