1、公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 5.5 复复 数数 最新考纲 考情考向分析 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.能进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚 部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的 充要条件，考查复数的代数形式的四则运 算， 重点考查复数的除法运算， 突出考查运 算能力与数形结合思想.一般以选择题、填 空题的形式出现，难度为低档. 1.复数的有关概念 (1)定义：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的实
2、部，b 叫做复数 z 的虚 部(i 为虚数单位). (2)分类： 满足条件(a，b 为实数) 复数的分类 abi 为实数b0 abi 为虚数b0 abi 为纯虚数a0 且 b0 (3)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR). (4)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR). (5)模： 向量OZ 的模叫做复数 zabi 的模， 记作|abi|或|z|， 即|z|abi| a2b2(a， bR). 2.复数的几何意义 复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ (a，b)(a，bR)是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设 z
3、1abi，z2cdi，a，b，c，dR. 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即OZ OZ 1 OZ2 ， Z1Z2 OZ2 OZ1 . 概念方法微思考 1.复数 abi 的实部为 a，虚部为 b 吗？ 提示 不一定.只有当 a，bR 时，a 才是实部，b 才是虚部. 2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”
4、) (1)方程 x2x10 没有解.( ) (2)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的 模.( ) 题组二 教材改编 2.设 z1i 1i2i，则|z|等于( ) A.0 B.1 2 C.1 D. 2 答案 C 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 解析 z1i 1i2i 1i2 1i1i2i 2i 2 2ii， |z|1.故选 C. 3.在复平面内，向量AB 对应的复数是 2i，向量CB对应
5、的复数是13i，则向量CA对应的 复数是( ) A.12i B.12i C.34i D.34i 答案 D 解析 CA CBBA13i(2i)34i. 4.若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( ) A.1 B.0 C.1 D.1 或 1 答案 A 解析 z 为纯虚数， x210， x10， x1. 题组三 易错自纠 5.设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 ab i为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 复数 ab iabi 为纯虚数， a0 且b0， 即 a0 且 b0， “ab
6、0”是“复 数 ab i为纯虚数”的必要不充分条件.故选 C. 6.(2019 葫芦岛模拟)若复数 z 满足 iz22i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 在复平面内对 应的点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 由题意，z22i i 22i i i i 22i， z 22i，则 z 的共轭复数 z 对应的点在第二象限.故选 B. 7.i2 014i2 015i2 016i2 017i2 018i2 019i2 020_. 答案 i 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 解析 原式i2i3i4i1i2i3i4i. 题型一
7、复数的概念 1.若复数 z 满足(12i)z1i，则复数 z 的虚部为( ) A.3 5 B. 3 5 C. 3 5i D. 3 5i 答案 B 解析 因为(12i)z1i， 所以 z 1i 12i 1i12i 5 13i 5 ， 因此复数 z 的虚部为3 5，故选 B. 2.(2019 大连质检)复数2i 1i的共轭复数是( ) A.3 2 1 2i B. 3 2 1 2i C. 3 2 1 2i D. 3 2 1 2i 答案 D 解析 由复数2i 1i ()2i 1i 1i1i 3i 2 3 2 1 2i， 所以共轭复数为3 2 1 2i，故选 D. 3.(2018 抚顺模拟)已知复数a2
8、i 2i 是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数 a 等于( ) A.4 B.4 C.1 D.1 答案 C 解析 a2i 2i a2i2i 2i2i 2a2a4i 5 ， 复数a2i 2i 为纯虚数， 2a20 且 a40， 解得 a1.故选 C. 思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析 概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解. 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 题型二 复数的运算 命题点 1 复数的乘法运算 例 1 (1)(2018 全国)(1i)(2i)等于( ) A.3i B.3i C.3i D.3i 答案 D 解析 (1i)(2i
9、)22iii23i. (2)i()23i 等于( ) A.32i B.32i C.32i D.32i 答案 D 解析 i(23i)2i3i232i，故选 D. 命题点 2 复数的除法运算 例 2 (1)(2018 全国)12i 12i等于( ) A.4 5 3 5i B.4 5 3 5i C.3 5 4 5i D.3 5 4 5i 答案 D 解析 12i 12i 12i2 12i12i 144i 12i2 34i 5 3 5 4 5i. 故选 D. (2)(2019 通辽诊断)已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz2z1，则 z 等于( ) A.2 5 1 5i B. 2 5 1 5i C
10、.2i D.2i 答案 A 解析 由 iz2z1，得(2i)z1， 解得 z 1 2i 2i 5 ， 即 z2 5 1 5i，故选 A. 命题点 3 复数的综合运算 例 3 (1)(2019 盘锦模拟)已知 z(1i)17i(i 是虚数单位)， z 的共轭复数为 z ， 则| |z 等于 ( ) 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 A. 2 B.34i C.5 D.7 答案 C 解析 z17i 1i 17i1i 2 34i， 故 z 34i| z |5，故选 C. (2)(2018 乌海模拟)对于两个复数 1i，1i，有下列四个结论：1； i； 1； 220，其中正确结论的个数为(
11、 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 对于两个复数 1i，1i， (1i) (1i)2，故不正确； 1i 1i 1i1i 1i1i 2i 2 i，故正确； |i 1，故正确； 22(1i)2(1i)212i112i10，故正确.故选 C. 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算. (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 跟踪训练 1 (1)已知 aR，i 是虚数单位，若 z 3ai，zz 4，则 a 为( ) A.1 或1 B.1 C.1 D.不存在的实数 答案 A 解析 由题意得 z 3ai， 故 zz 3a24a 1，故选 A. (
12、2)(2019 铁岭质检)已知复数 abi1i 2 1i (i 是虚数单位，a，bR)，则 ab 等于( ) A.2 B.1 C.0 D.2 答案 A 解析 由复数的运算法则，可得 1i2 1i 2i 1i 2i1i 1i()1i 2i2 2 1i， 结合题意可得 abi1i，即 a1，b1， 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 据此可得 ab2.故选 A. 题型三 复数的几何意义 例 4 (1)(2018 赤峰质检)复数 z 满足(2i)z|34i ，则 z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 (2i)z|34i
13、9165， ()2i (2i)z5()2i ， 5z5()2i ，z2i， z 在复平面内对应的点为(2，1)，在第四象限，故选 D. (2)如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，32i，24i，试求： AO ，BC 所表示的复数； 对角线CA 所表示的复数； B 点对应的复数. 解 AO OA ，AO 所表示的复数为32i. BC AO ，BC 所表示的复数为32i. CA OA OC ，CA 所表示的复数为 (32i)(24i)52i. OB OA AB OA OC ， OB 所表示的复数为(32i)(24i)16i， 即 B 点对应的复数为 16i. 思维升华
14、复平面内的点、 向量及向量对应的复数是一一对应的， 要求某个向量对应的复数时， 只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可. 跟踪训练 2 (1)(2018 阜新模拟)已知复数 z 5i 34i(i 是虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 对应的 点在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 答案 A 解析 z 5i 34i 5i()34i ()34i ()34i 4 5 3 5i， z 4 5 3 5i，则 z 的共轭复数 z 对应的点在第四象限.故选 A. (2)已知复数 z112i，z21i，z332i
15、，它们所对应的点分别为 A，B，C，O 为坐标 原点，若OC xOA yOB ，则 xy 的值是_. 答案 5 解析 由已知得 A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)， OC xOA yOB ， (3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)， xy3， 2xy2， 解得 x1， y4， 故 xy5. 1.已知复数 z168i，z2i，则z1 z2等于( ) A.86i B.86i C.86i D.86i 答案 C 解析 z168i，z2i， z1 z2 68i i 68ii i2 86i. 2.(2019 包头质检)若复数 z 满足(12i) z2i，其中 i 为虚数单位，则|z|等于
16、( ) A.3 5 B. 4 5 C.1 D.2 答案 C 解析 由题意可得 z 2i 12i， 则|z| 2i 12i |2i |12i 5 51.故选 C. 3.已知 i 为虚数单位，则复数 2 1i在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 解析 2 1i 21i 1i1i 22i 2 1i，在复平面内对应的点为(1，1)，所以在第四象限， 故选 D. 4.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足zi zi1i，那么|z|等于( ) A.1 B. 2 C. 5 D.5 答案 C 解析 zi
17、zi1i，zi(1i)( )zi ，iz(2i)i， z2i，|z| 14 5，故选 C. 5.已知 i 为虚数单位，aR，若i2 ai为纯虚数，则 a 等于( ) A.1 2 B. 1 2 C.2 D.2 答案 B 解析 由题意知i2 ai ()i2()ai ()ai()ai 2a1a2i a21 2a1 a21 a2 a21i， 又由i2 ai为纯虚数， 所以2a10 且 a20，解得 a1 2，故选 B. 6.若复数 z 满足()34i z1i(i 是虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 等于( ) A.1 5 7 5i B.1 5 7 5i C. 1 25 7 25i D. 1 25
18、 7 25i 答案 D 解析 由题意可得 z 1i 34i 1i34i 34i34i 17i 25 ， 所以 z 1 25 7 25i，故选 D. 7.已知复数 z 满足 z21216i，则 z 的模为( ) A.20 B.12 C.2 5 D.2 3 答案 C 解析 设 zabi，a，bR， 则由 z21216i，得 a2b22abi1216i， 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 则 a2b212， 2ab16， 解得 a4， b2 或 a4， b2， 即|z|a2b2 1642 5.故选 C. 8.已知集合 M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若 MN3，则实数 m 的值
19、为 _. 答案 3 或 6 解析 MN3，3M 且1M， m1,3(m25m6)i3 或 m3， m25m60 且 m1 或 m3， 解得 m6 或 m3，经检验符合题意. 9.(2018 江苏)若复数 z 满足 i z12i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_. 答案 2 解析 由 i z12i，得 z12i i 2i， z 的实部为 2. 10.(2018 天津)i 是虚数单位，复数67i 12i_. 答案 4i 解析 67i 12i 67i12i 12i12i 205i 5 4i. 11.已知复数 z 满足 z3 z0，则|z|_. 答案 3 解析 由复数 z 满足 z3 z0，则
20、 z 23， 所以 z 3i，所以|z| 3. 12.若复数 z1i，则 z1 z的虚部是_. 答案 1 2 解析 z1 z1i 1 1i1i 1i 2 3 2 1 2i，故虚部为 1 2. 13.(2018 营口质检)已知复数 z 满足(1i)zi3，则|z|_. 答案 2 2 解析 由题意知 z i3 1i i1i 1i1i i1 2 公众号码：王校长资源站 公众号码：王校长资源站 1 2 1 2i， 则|z| 1 2 2 1 2 2 2 2 . 14.(2019 乌海调研)已知 i 为虚数单位，复数 z(1i)23i，则 z 的虚部为_. 答案 5 2 解析 由 z(1i)23i， 得
21、z23i 1i 23i1i 1i1i 15i 2 1 2 5 2i， 则 z 的虚部为5 2. 15.已知复数 zbi(bR)，z2 1i是实数，i 是虚数单位. (1)求复数 z； (2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围. 解 (1)因为 zbi(bR)， 所以z2 1i bi2 1i bi21i 1i1i b2b2i 2 b2 2 b2 2 i. 又因为z2 1i是实数，所以 b2 2 0， 所以 b2，即 z2i. (2)因为 z2i，mR， 所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2 (m24)4mi， 又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限， 所以 m240， 4m0， 解得 m0， 1a0， 所以1bi； 若 aR，则(a1)i 是纯虚数； 若 zi，则 z31 在复平面内对应的点位于第一象限. 其中正确的命题是_.(填上所有正确命题的序号) 答案 解析 由复数的概念及性质知，错误；错误； 若 a1，则 a10，不满足纯虚数的条件，错误； z31(i)31i1，正确.
