1、第二讲导数的简单应用第三章导数及其应用考点帮 必备知识通关考点1 导数与函数的单调性考点2 导数与函数的极值、最值考法3 生活中的优化问题考法帮 解题能力提升考法1 利用导数研究函数的单调性考法2 利用导数研究函数的极值和最值考法3 导函数图象的应用考法4 利用导数解最优化问题高分帮 “双一流”名校冲刺数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题提能力 数学探索 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.导数与函数的单调性掌握2020全国,T21探索创新考法1数学运算逻辑推理2.导数与函数的极值、最值掌握2019全国,T20探索创新考法2数学运算逻辑推理直观
2、想象2017浙江,T7探索创新考法33.生活中的优化问题掌握2020江苏,T17生产、生活实践考法4数学建模数学抽象逻辑推理数学运算 考情解读命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.主要以导数为工具考查求函数的单调区间,讨论函数的单调性,已知函数单调性求参数取值范围,利用函数单调性求极值、最值,已知函数极值、最值求参数值(或取值范围)等.考查形式为选择题、填空题、解答题,难度中等偏上.预计2022年高考命题变化不大,但需注意函数形式创新及与其他知识的综合.考点帮必备知识通关考点1 导数与函数的单调性考点2 导数与函数的极值、最值考法3 生活中的优化问题 考点1 导数与函
3、数的单调性1.已知函数y=f()在区间(,b)内可导,(1)若f()0,则f()在区间(,b)内是单调递增函数;(2)若f()0(0,右侧f()00附近的左侧f()0图象极值f(0)为极大值f(0)为极小值极值点0为极大值点0为极小值点极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.考点2 导数与函数的极值、最值易错警示 (1)极值点不是点,若函数f()在1处取得极大值,则1为极大值点,极大值为f(1).(2)极大值与极小值没有必然关系,极小值可能比极大值还大.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)f(0)=0是0为可导函数f()的极值点的必要不充分条件.例如,f()=3,f(0
4、)=0,但=0不是极值点.考点2 导数与函数的极值、最值2.函数的最值若在区间,b上函数f()的图象是一条连续不断的曲线,则在,b上f()必有最大值与最小值.辨析比较 函数函数极值与最值的区别与联系极值与最值的区别与联系 极值最值区别(1)极值是个“局部”概念,只能在定义域内部取得;(2)在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个都没有.(1)最值是个“整体”概念,可以在区间的端点处取得;(2)最值最多有一个.联系(1)极值有可能成为最值,最值只要不在区间端点处取得,必定是极值;(2)在区间,b上图象是一条连续曲线的函数f()若有唯一的极值,则这个极值就是最值.考点3 生活中的优化问题生活中经常
5、遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为:注意 在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.考法1 利用导数研究函数的单调性考法2 利用导数研究函数的极值和最值考法3 导函数图象的应用考法4 利用导数解最优化问题考法帮解题能力提升 考法1 利用导数研究函数的单调性 考法1 利用导数研究函数的单调性思维导引（1）给什么得什么由f()=e-1求导得f()=e-.求什么想什么求f()的单调区间,需确定f()在相应区间上的符号.差什么找什么由e-0得e,由于eln 不一定有意义,需要考虑“0”是否
6、成立,故需要对“0”是否成立进行讨论,即(i)0,(ii)0.考法1 利用导数研究函数的单调性求什么想什么差什么找什么（2）考法1 利用导数研究函数的单调性 考法1 利用导数研究函数的单调性 考法1 利用导数研究函数的单调性方法技巧 利用导数研究函数单调性的方法方法一:(1)确定函数f()的定义域;(2)求导数f();(3)由f()0(或0(或f()0都有f()-mg()0成立,求实数m的最小值.思维导引 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法2 利用导数研究函数的极值和最值方法技巧 1.求可导函数f()的极值的步
7、骤(1)确定函数的定义域,求导数f();(2)求方程f()=0的根;(3)检验f()在方程f()=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:0f()f()0f()=0f()0f()增极大值f(0)减 0f()f()0f()减极小值f(0)增 考法2 利用导数研究函数的极值和最值注意 对于求解析式中含有参数的函数的极值问题,一般要对方程f()=0的根的情况进行讨论.分两个层次讨论:第一层,讨论方程在定义域内是否有根;第二层,在有根的条件下,再讨论根的大小.考法2 利用导数研究函数的极值和最值2.求函数f()在,b上的最值的方法(1)若函数f()在区间,b上单调递增(递减),则f()为最小(大)值,f(
8、b)为最大(小)值;(2)若函数在区间(,b)内有极值,则要先求出函数在(,b)内的极值,再与f(),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f()在区间(,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.考法2 利用导数研究函数的极值和最值命题角度2已知函数的极值、最值求参数示例4 2016山东,20,13分文设f()=ln-2+(2-1),R.(1)令g()=f(),求g()的单调区间;(2)已知f()在=1处取得极大值,求实数的取值范围.考法2 利用导数研究函数的极值和最值给什么想什么求什么想什么g()的单调区间g(
9、)的正负性.差什么找什么注意f()和g()的定义域均为(0,+).于是只需确定1-2的正负性,需分0和0进行讨论.（1）考法2 利用导数研究函数的极值和最值（2）给什么想什么f()在=1处取得极大值 f(1)=0,且f()在=1的左边(附近)单调递增(即f()0),在=1的右边(附近)单调递减(即f()0).差什么找什么 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法2 利用导数研究函数的极值和最值方法技巧 1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领2.若函数y=f()在区间(,b)上存在极值点,则函数y=f()在区间(,b
10、)内存在变号零点.列式根据极值点处导数为0或极值列方程(组),利用待定系数法求解.验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证.考法3 导函数图象的应用示例5 2017浙江,7,4分函数y=f()的导函数y=f()的图象如图3-2-2所示,则函数y=f()的图象可能是图3-2-2 A B C D 考法3 导函数图象的应用解析 根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f()在这些零点处取得极值,排除A,B;记导函数 f()的零点从左到右分别为1,2,3,又在(-,1)上f()0,所以函数f()在(-,1)上单调递减,排
11、除C.答案 D 考法3 导函数图象的应用方法技巧 导函数图象的应用策略(1)由y=f()的图象与轴的交点,可得函数y=f()的可能极值点;(2)由导函数y=f()的图象可以看出y=f()的值的正负,从而可得函数y=f()的单调性.考法4 利用导数解最优化问题图3-2-3 考法4 利用导数解最优化问题 考法4 利用导数解最优化问题图3-2-4 考法4 利用导数解最优化问题 考法4 利用导数解最优化问题当变化时,f(),f()的变化情况如下表:所以当=20时,f()取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.(0,20)20(20,40)f()
12、-0+f()极小值 考法4 利用导数解最优化问题方法技巧 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤注意 在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最值.高分帮“双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题类型1只含f()类示例7 若函数f()的定义域为R,且满足f(2)=2,f()1,则不等式f()-0的解集为.解析 令g()=f()-,则g()=f()-1.由题意知g()0,g()为增函数.g(2)=f(2)-2=0,g()0即f()-0的解集为(2,+).数学探索 运用构
13、造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题类型3含f()f()类示例9 新课标全国,5分设函数f()是奇函数f()(R)的导函数,f(-1)=0,当0时,f()-f()0成立的的取值范围是A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题数学探索 运用构造法求解f()与f()共存的不等式问题
