1、共 64 页1第四十六讲第四十六讲 直线直线 平面平行的判定及其性质平面平行的判定及其性质共 64 页2回归课本回归课本共 64 页31.直线与直线直线与直线(1)空间两条直线的位置关系有空间两条直线的位置关系有平行平行 相交相交 异面异面三种三种.(2)过直线外一点过直线外一点有且仅有有且仅有一条直线和这条直线平行一条直线和这条直线平行.(3)公理公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相平行平行,又叫做空又叫做空间平行线的传递性间平行线的传递性.(4)定理定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同并
2、且方向相同,那么这两个角那么这两个角相等相等.共 64 页4(5)空间四边形空间四边形:顺次连结不共面的四点顺次连结不共面的四点A B C D所构成所构成的图形的图形,叫做叫做空间四边形空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点边形的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边四边形的边;连结不相邻的顶点的线段叫做连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线空间四边形的对角线.空间空间四边形用表示顶点的四个字母表示四边形用表示顶点的四个字母表示.共 64 页52.直线与平面平行直线与平面平行(1)直线与平面的位置关系有直线与平面的
3、位置关系有:平行平行:直线和平面没有公共点直线和平面没有公共点相交相交:直线和平面有且只有直线和平面有且只有1个公共点个公共点直线在平面内直线在平面内:直线和平面有无数个公共点直线和平面有无数个公共点,其中其中 也也叫叫直线在平面外直线在平面外共 64 页6(2)直线与平面平行直线与平面平行判定定理判定定理:平面外的一条直线与平面外的一条直线与平面内的一条直线平行平面内的一条直线平行,则则该直线就与此平面平行该直线就与此平面平行.性质定理性质定理:一条直线和一个平面平行一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一则过这条直线的任一平面与此平面的平面与此平面的交线交线也与该直线平行也与该直线平行.
4、共 64 页73.平面与平面平行平面与平面平行(1)平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平行平行两平面无公共点两平面无公共点两平面相交两平面相交有一条公共直线有一条公共直线(2)平面与平面的平行平面与平面的平行判定定理判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则则这两个平面平行这两个平面平行.性质定理性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么那么它们的交线它们的交线平行平行.共 64 页8考点陪练考点陪练共 64 页91.设设AA是长方体的一条棱是长方体的一条棱,这个长方体中与这个长方体中与AA平行
5、的棱共平行的棱共有有()A.1条条 B.2条条 C.3条条 D.4条条解析解析:AABBCCDD.答案答案:C共 64 页102.b是平面是平面外一条直线外一条直线,下列条件中可得出下列条件中可得出b的是的是()A.b与与内一条直线不相交内一条直线不相交B.b与与内两条直线不相交内两条直线不相交C.b与与内无数条直线不相交内无数条直线不相交D.b与与内任意一条直线不相交内任意一条直线不相交解析解析:只有在只有在b与与内所有直线都不相交内所有直线都不相交,即即b与与无公共点无公共点时时,b.答案答案:D共 64 页113.在空间在空间,下列命题正确的是下列命题正确的是()A.若若a,ba,则则b
6、B.若若a,b,a,b,则则C.若若,b,则则bD.若若,a,则则a解析解析:若若a,ba,则则b或或b,故故A错误错误;由面面平行的判由面面平行的判定定理知定定理知,B错误错误;若若,b,则则b或或b,故故C错误错误.答案答案:D1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，
7、就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年11月2022-11-12022-11-12022-11-111/1/20227、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022-11-12022-11-1November 1,20228、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022-11-12022-11-12022-11-12022-11-1共 64 页134.已知两个不同的平面已知两个不同的平面 和两条不重合的直线和两条不重合的直线m n,有下有下列四个命题列四个命题:若若mn,n,则则m;若若m,n,则则mn;若若,m,则则m.其中正确命题的个数是其中
8、正确命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.0解析解析:有可能有可能m;m n还可能是异面直线还可能是异面直线;正确正确,故正故正确答案是确答案是A.答案答案:A共 64 页145.a,b,c为三条不重合的直线为三条不重合的直线,、为三个不重合的平面为三个不重合的平面,现给出四个命题现给出四个命题:acaababbcbccacac其中正确的命题是其中正确的命题是_.答案答案:共 64 页15类型一类型一直线与直线平行直线与直线平行解题准备解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行共 64 页16【典例【典例1】如图如图,若若=a,=b,=c,且且ab,求求证证
9、:abc.分析分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证即可证得得.共 64 页17 证明证明 ba,a,b,b(线线平行线线平行,则线面平行则线面平行).b,=c,bc(线面平行线面平行,则线线平行则线线平行),abc.共 64 页18 反思感悟反思感悟 (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结条件必须充分满足了才得结论论.(2)本题证明
10、思路是本题证明思路是:线线线线线线面面线线线线.共 64 页19类型二类型二直线和平面平行直线和平面平行解题准备解题准备:1.证明线面平行的方法证明线面平行的方法(1)依定义采用反证法依定义采用反证法;(2)判定定理法判定定理法(线线平行线线平行线面平行线面平行);(3)面面平行的性质定理面面平行的性质定理(面面平行面面平行线面平行线面平行).共 64 页202.应用线面平行判定定理的思路应用线面平行判定定理的思路在应用线面平行的判定定理证明线面平行时在应用线面平行的判定定理证明线面平行时,要在平面内找要在平面内找(或作或作)一条直线与已知直线平行一条直线与已知直线平行,在找在找(或作或作)这
11、一条直线时这一条直线时,由线面平行的性质定理知由线面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行线才和已知直线平行,所以要通过平面来找所以要通过平面来找(或作或作)这一条直这一条直线线.在应用其它判定定理和性质定理时在应用其它判定定理和性质定理时,要注意充分利用条要注意充分利用条件构造定理的题设件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导在分析思路时也要以定理作为指导.共 64 页21【典例【典例2】如图如图,正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,侧面对角线侧面对角线AB1,BC1上分别有两点上分别有两点E,F且且B1E=C1F.求证求证:E
12、F平面平面ABCD.共 64 页22 分析分析 要证要证EF平面平面ABCD,方法有两种方法有两种:一是利用线面平行一是利用线面平行的判定定理的判定定理,即在平面即在平面ABCD内确定内确定EF的平行线的平行线;二是利用二是利用面面平行的性质定理面面平行的性质定理,即过即过EF作与平面作与平面ABCD平行的平面平行的平面.共 64 页23 证明证明 证法一证法一:过过E作作EMAB于于M,过过F作作FNBC于于N,连接连接MN(如图如图).则则EMBB1,FNBB1,EMFN.共 64 页24AB1=BC1,B1E=C1F,AE=BF,又又BB1=CC1,EM=FN,四边形四边形EMNF是平行
13、四边形是平行四边形,EFMN.又又EF 平面平面ABCD,MN 平面平面ABCD,EF平面平面ABCD.11111,EMAEBFAEFNBBABBCABCC11EMFNBBCC共 64 页25证法二证法二:连接连接B1F,并延长交并延长交BC的延长线于点的延长线于点P,连接连接AP(如图如图).共 64 页26BPB1C1,B1FC1PFB,AB1=BC1,B1E=C1F,AE=BF,EFAP.又又EF 平面平面ABCD,AP 平面平面ABCD,EF平面平面ABCD.11.B FC FFPBF11.C FB EBFEA11,B EB FEAFP共 64 页27证法三证法三:过点过点E作作EHB
14、B1于点于点H,连接连接FH(如图如图).共 64 页28则则EHAB,所以所以AB1=BC1,B1E=C1F,FHB1C1.B1C1BC,FHBC.EHFH=H,平面平面EFH平面平面ABCD.EF 平面平面EFH,EF平面平面ABCD.1111.B EB HB AB B1111,B EC FB AC B1111B HC FB BC B共 64 页29 反思感悟反思感悟 判断或证明线面平行的常用方法有判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义利用线面平行的定义(无公共点无公共点);(2)利用线面平行的判定定理利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理
15、利用面面平行的性质定理(,a a);(4)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(,a,a,aa).共 64 页30类型三类型三平面与平面平行的证明方法平面与平面平行的证明方法解题准备解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外,还有还有:(1)如果两个平面垂直于同一条直线如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行那么这两个平面平行.(2)如果两个平面和同一个平面平行如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行那么这两个平面平行.共 64 页312.平行问题的转化方向如图所示平行问题的转化方向如图所示:共 64 页32注意注意:(1
16、)在平面和平面平行的判定定理中在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线两条相交直线”中的中的“相交相交”两个字不能忽略两个字不能忽略,否则结论不一定成立否则结论不一定成立.(2)若由两个平面平行来推证两条直线平行若由两个平面平行来推证两条直线平行,则这两条直线必则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线须是这两个平行平面与第三个平面的交线,有时第三个平有时第三个平面需要作出来面需要作出来.共 64 页33【典例【典例3】如图所示如图所示,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1,D是是BC上一点上一点,且且A1B平面平面AC1D,D1是是B1C1的中点的中点,求证求证:平面平面A1BD1平面
17、平面AC1D.共 64 页34证明证明 连接连接A1C交交AC1于点于点E,共 64 页35四边形四边形A1ACC1是平行四边形是平行四边形,E是是A1C的中点的中点,连接连接ED,A1B平面平面AC1D,平面平面A1BC平面平面AC1D=ED,A1BED,E是是A1C的中点的中点,D是是BC的中点的中点.共 64 页36又又D1是是B1C1的中点的中点,在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中中,BD1C1D,A1D1AD,又又A1D1BD1=D1,ADC1D=D,平面平面A1BD1平面平面AC1D.共 64 页37 反思感悟反思感悟 证明平面与平面相互平行证明平面与平面相互平行,一般利用面面平
18、行的一般利用面面平行的判定定理或其推论判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明行来证明.具体方法有具体方法有:(1)面面平行的定义面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面平行于另一个平面,那么这两个平面平行那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行利用垂直于同一条直线的两个平面平行;共 64 页38(4)两个平面同时平行于第三个平面两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行那么这两个平面平行;(5)利用利用“线线平行线线平行”
19、、“线面平行线面平行”、“面面平行面面平行”的相互的相互转化转化.共 64 页39类型四类型四线面平行中的探究问题线面平行中的探究问题解题准备解题准备:探究性问题探究性问题,一般采用执果索因的方法一般采用执果索因的方法,假设求解的假设求解的结果存在结果存在,从这个结果出发从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条寻找使这个结论成立的充分条件件,如果找到了符合题目结果要求的条件如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在则存在;如果找不如果找不到符合题目结果要求的条件到符合题目结果要求的条件(出现矛盾出现矛盾),则不存在则不存在.共 64 页40【典例【典例4】如图如图,在底面是平行四边形的四棱锥在
20、底面是平行四边形的四棱锥PABCD中中,点点E在在PD上上,且且PEED=21,在棱在棱PC上是否存在一点上是否存在一点F,使使BF平面平面AEC?证明你的结论证明你的结论?共 64 页41 解解 当当F是棱是棱PC的中点时的中点时,BF平面平面AEC.证明证明:取取PE的中点的中点M,连接连接FM,共 64 页42则则FMCE.由由EM=PE=ED,知知E是是MD的中点的中点.连接连接BM BD,设设BDAC=O,则则O为为BD的中点的中点,连接连接OE所以所以BMOE.由由知知,平面平面BFM平面平面AEC.又又BF 平面平面BFM,所以所以BF平面平面AEC.12共 64 页43错源一错
21、源一主观臆断主观臆断,推理不严谨推理不严谨【典例【典例1】如图所示如图所示,已知已知E F分别是正方体分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AA1 CC1的中点的中点.求证求证:四边形四边形BED1F是平行四边形是平行四边形.共 64 页44 错证错证 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,平面平面A1ADD1平面平面B1BCC1,由两平行平面与第三平面相交得交线平行由两平行平面与第三平面相交得交线平行,故故D1EFB,同理可证同理可证D1FEB,故四边形故四边形EBFD1为平行四边为平行四边形形.剖析剖析 主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理主要错在盲目地在立体几何证
22、明中套用平面几何定理.立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题平面几何知识解题.共 64 页45 证明证明 取取DD1的中点的中点G,连接连接AG FG.AE D1G,D1E AG,又又FG CD,CD AB,FG AB,BF AG,D1E BF,四边形四边形EBFD1为平行四边形为平行四边形.共 64 页46错源二错源二以特殊代替一般以特殊代替一般,以偏概全致误以偏概全致误【典例【典例2】已知已知,AB,CD是夹在是夹在与与间的两间的两条线段条线段,点点E,F分别在分别在AB,CD上上,且且AE:EB=CF:FD=m
23、:n,求求证证:EF,EF.共 64 页47剖析剖析 容易利用下图容易利用下图(1)或图或图(2)中的特殊图形代替一般证明中的特殊图形代替一般证明,对对AB与与CD异面这种更一般的情形缺乏分析异面这种更一般的情形缺乏分析,由此产生特殊由此产生特殊代替一般的证明错误代替一般的证明错误.共 64 页48 证明证明 当当AB,CD共面时共面时,如图如图(1)(2)所示所示,根据平行线分线根据平行线分线段成比例定理段成比例定理,知知EFAC,EFBD,立即推出立即推出EF,EF;当当AB,CD异面时异面时,如图如图(3)所示所示,过点过点A作作AGCD交平面交平面于点于点G,连接连接DG,BG.过点过
24、点F作作FHAC交交AG于点于点H,连接连接HE.由由,知知ACGD,则则HFGD,所以所以HF;由于由于ACHFGD,故故CF:FD=AH:HG=m:n=AE:EB,则则EHBG,所以所以EH.综综上上,可知平面可知平面EFH平面平面,又又,故平面故平面EFH平面平面.由由于于EF 平面平面EFH,故故EF,EF.共 64 页49 评析评析 在立体几何中当已知两条直线时在立体几何中当已知两条直线时,要充分考虑到这两要充分考虑到这两条直线的各种位置关系条直线的各种位置关系,不要只考虑两条直线共面的情况不要只考虑两条直线共面的情况,还要把它们异面的情况考虑进去还要把它们异面的情况考虑进去.由于空
25、间图形位置关系由于空间图形位置关系的多样性的多样性,就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系的一种解决问题的情况的一种解决问题的情况,导致解答不全导致解答不全.共 64 页50技法技法一题多解一题多解【典例】【典例】一条直线分别与两个相交平面平行一条直线分别与两个相交平面平行,那么这条直线那么这条直线必与它们的交线平行必与它们的交线平行.已知已知:平面平面平面平面=l,直线直线a平面平面,直线直线a平面平面.求证求证:直线直线a直线直线l.共 64 页51 证明证明 证法一证法一:作辅助平面作辅助平面.如图如图,a,过过a作平面作平面交平面交平面于于c,
26、ac(线面平行的性线面平行的性质定理质定理).同理过同理过a作平面作平面交平面交平面于于d,ad.共 64 页52由公理由公理4,ac,ad,得得cd,又又c,d,cd,c(线面平行的判定定理线面平行的判定定理).c,c,=l,cl(线面平行的判定定理线面平行的判定定理).又又ac,由公理由公理4,al.共 64 页53证法二证法二:同一法同一法.如图如图,在平面在平面和平面和平面的交线的交线l上取一点上取一点A,过过A作直线作直线la.a,l在在内内(一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行,那么过平面内的一点且那么过平面内的一点且与这条直线平行的直线都在这个平面内与这条直线平行的直线都
27、在这个平面内).共 64 页54同理同理a,l也在也在内内.l既在平面既在平面内内,又在平面又在平面内内.由公理由公理3知知l就是平面就是平面与平面与平面的交线的交线,即即l与与l重合重合.又又la,la.共 64 页55证法三证法三:利用平行线关系利用平行线关系.如图如图,a,过过a作平面作平面交平面交平面于不同于直线于不同于直线l的直线的直线c,则则ca.共 64 页56又又a,c.而平面而平面是过是过c的平面且与平面的平面且与平面相交于直相交于直线线l.由线面平行的性质定理由线面平行的性质定理,得得cl.又又ac,由公理由公理4知知,al.共 64 页57证法四证法四:借助辅助平面借助辅
28、助平面.如图如图,过平面过平面与平面与平面的交线的交线l上一点上一点A和直线和直线a作平面作平面.共 64 页58与与、有公共点有公共点A,则则分别与分别与、有过有过A的一条交线的一条交线,设设为为l与与l,但过但过A点有且只有一条直线平行于点有且只有一条直线平行于a,l与与l重合重合,且这条直线既在平面且这条直线既在平面内内,又在平面又在平面内内,故一定故一定是平面是平面与平面与平面的交线的交线l.l、l、l三条直线重合三条直线重合,则则al.共 64 页59证法五证法五:反证法反证法.若直线若直线a不平行于直线不平行于直线l,则则a与与l相交或异面相交或异面.当当a与与l相交时相交时,则则
29、a就与就与l所在的平面所在的平面和平面和平面相交相交,这与已知这与已知a,相矛盾相矛盾,所以这是不可能的所以这是不可能的.当当a与与l异面时异面时,过过l平行于平行于a的平面只有一个的平面只有一个,但已知平面但已知平面和平和平面面是两个不同的平面都过是两个不同的平面都过l且均与直线且均与直线a平行平行,因此因此a与与l异面也是不可能的异面也是不可能的.因此直线因此直线a与直线与直线l既不相交也不异面既不相交也不异面,故故al.共 64 页60证法六证法六:过过a作平行平面研究交线关系作平行平面研究交线关系.如图如图,过直线过直线a作平面作平面与平面与平面平行平行.共 64 页61平面平面与平面
30、与平面相交相交,平面平面也必与平面也必与平面相交相交.设平面设平面与平面与平面的交线为的交线为b.a,ab.又又lb(如果两个平行平面同时和第三个平面相交如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们那么它们的交线平行的交线平行).由公理由公理4,知知al.共 64 页62证法七证法七:借助辅助平面借助辅助平面,将平行关系转化为垂直关系来证明将平行关系转化为垂直关系来证明.如图如图,作平面作平面,使直线使直线a.共 64 页63a,(一条直线如果平行于一个平面一条直线如果平行于一个平面,那么平行于这条直线那么平行于这条直线的平面也垂直于这个平面的平面也垂直于这个平面).同理可证同理可证,.l(
31、两个相交平面同时垂直于第三个平面两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交那么它们的交线也垂直于第三个平面线也垂直于第三个平面).l,a,al(垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行).共 64 页64 方法与技巧方法与技巧 (1)证法一、证法三、证法四是利用平行关系证法一、证法三、证法四是利用平行关系(线面平行的判定与性质定理线面平行的判定与性质定理)证明证明,是直接法是直接法;证法二与证证法二与证法四是同一法法四是同一法,证法五是反证法证法五是反证法,同一法与反证法属于间接同一法与反证法属于间接证明证明,证法七利用垂直关系证明的证法七利用垂直关系证明的.共 64 页65(2)上述方法主要是掌握证法一、证法三、证法四上述方法主要是掌握证法一、证法三、证法四,这三种证这三种证法思路简捷、明快法思路简捷、明快,是直接应用线面平行的判定定理或性是直接应用线面平行的判定定理或性质定理来证明的质定理来证明的.其他方法仅作了解其他方法仅作了解,以拓宽知识面以拓宽知识面.(3)证明过程中用到了一些常用的结论证明过程中用到了一些常用的结论(括号内结论括号内结论),对这些结对这些结论要在理解的基础上牢记它们论要在理解的基础上牢记它们,这样做有助于我们解决其这样做有助于我们解决其它问题它问题.
