1、人教人教A A版版 必修必修 第一册第一册在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的中的“集合集合”？下面我们看一个个思考问题？下面我们看一个个思考问题 康托尔（康托尔（G.Cantor,1845-1918G.Cantor,1845-1918）.德国数学德国数学家，集合论创始人家，集合论创始人.人们把康托尔于人们把康托尔于18731873年年1212月月7 7日给戴德金的信中最早提出集合论思想日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日的那一天定为集合论诞生日.通知通知 9 9月月1 1号下午号
2、下午7 7点整，请高一年级的全体学生在体育馆集合点整，请高一年级的全体学生在体育馆集合组织入学教育组织入学教育.德育处德育处这个通知的这个通知的对象对象是全体高一学生还是个别对象？是全体高一学生还是个别对象？高一学生全体高一学生全体 此时高一学生的全体构成一个此时高一学生的全体构成一个集合集合，这节课我们就具体，这节课我们就具体地研究地研究集合集合的相关知识的相关知识.初中我们已经接触过一些集合初中我们已经接触过一些集合：1.将下列数字填入相应的集合：31.1,5,0,2,3.1 4,7.4自然数集合有理数集合2 2.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集圆的定义：平面内到定点的距离等于
3、定长的点的集合合.看下面几个例子看下面几个例子 （1）120以内的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;（5）方程 的所有实数根；（6）地球上的四大洋。上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？如果把研究的对象统称为元素，那么它们的元素吗？如果把研究的对象统称为元素，那么它们的元素分别是什么？分别是什么？0232 xx每一组的元素是：每一组的元素是：（1）120以内的每一个偶数；（2）立德中学今年入学的每一位高一学生；（3）每一个正方形；（4）到直
4、线l的距离等于定长d的每一个点;（5）方程 的每一个实数根；2320 xx（6）地球上四大洋中的每一大洋。一般地，一般地，我们把研究对象统称为我们把研究对象统称为元素元素.我们把一些元素组成的总我们把一些元素组成的总体叫做体叫做集合集合(简称为集简称为集).).其中其中元素元素通常用小写拉丁字母通常用小写拉丁字母a,b,c,.a,b,c,.来表示来表示.集合集合通常用大写拉丁字母通常用大写拉丁字母A,B,C,.A,B,C,.来表示来表示.组成集合的元素可以是物、数、图、点等组成集合的元素可以是物、数、图、点等 1.1.所有的所有的“帅哥帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？能否构成一个集合？由
5、此说明什么？集合中的元素集合中的元素具有确定性具有确定性由于由于“帅帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“帅帅”才算才算“帅帅”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象因此，不能构成集合的对象因此，不能构成集合2.2.由由2,3,1,6,32,3,1,6,3这些数组成的一个集合中有这些数组成的一个集合中有5 5 个个 元素，这种元素，这种说法正确吗？说法正确吗？集合中的元素集合中的元素具有互异性具有互异性不正确不正确.集合中只有集合中只有4 4个不同元素个不同元素2 2，3 3，1 1，6.6.3
6、.3.高一（高一（6 6）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？没有变化？集合中的元素具集合中的元素具有无序性有无序性通过以上的学习你能给出集合中元素的具有哪些特性？通过以上的学习你能给出集合中元素的具有哪些特性？由于元素相同由于元素相同 集合没有变化集合没有变化两个集合中若元素完全一样，两个集合中若元素完全一样，则称两集合相等则称两集合相等.提示：提示：任何集合的元素都有满足确定性、互异性、无任何集合的元素都有满足确定性、互异性、无序性序性.我们还可以用这些性质继续去探求集合与元素的我们还可以用这些性质继续去探求集合与元素的关
7、系关系.1.1.判断以下元素的全体是否组成集合判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由并说明理由:(1)(1)大于大于3 3小于小于1111的偶数的偶数;(2);(2)我国的小河流我国的小河流.（3 3）由）由1 1，2 2，2 2，3 3这四个数这四个数已知下面的两个实例：已知下面的两个实例：（1 1）用）用A A表示高一表示高一(1)(1)班全体学生组成的集合班全体学生组成的集合.（2 2）用）用a a表示高一表示高一(1)(1)班的一位同学，班的一位同学，b b表示高一表示高一(2)(2)班的一位同学班的一位同学.a a是是集合集合A A中的元素中的元素,b b不是不是集合集合A A中
8、的元素中的元素.元素和集合的关系元素和集合的关系思考：思考：那么那么a a，b b与集合与集合A A分别有什么关系分别有什么关系?元元素素a a与集合与集合A A的关系的关系 如果如果a a是集合是集合A A的元素，就说的元素，就说a a属于集合属于集合A A，记作记作a aA A；如果如果a a不是集合不是集合A A中的元素，就说中的元素，就说a a不属于集合不属于集合A A，记作记作a a A.A.归纳总结常用的常用的数集数集自然自然数集数集正整数集正整数集整数整数集集有理有理数集数集实数实数集集记法记法QRNZN*或或N 2 求解此类问题必须要做到以下两点：求解此类问题必须要做到以下两点
9、：熟记常见的数集的符号；熟记常见的数集的符号；正确理解元素与集合之间的正确理解元素与集合之间的“属于属于”关系关系.1.1.列举法列举法 问题问题1 1：地球上的四大洋地球上的四大洋 组成的集合如何表示？组成的集合如何表示？太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋.问题问题2:2:方程（方程（x+1)(x+2)=0 x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合又如何用列举法表的所有根组成的集合又如何用列举法表示呢？示呢？-1,-2-1,-2 定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括括起来表示集合的方法叫做列举法起来表示集合的方法
10、叫做列举法.元素满足元素满足 确定确定 无序无序 互异性互异性注意注意：元素间要用逗号隔开元素间要用逗号隔开.通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？元素必须用花括号括起来元素必须用花括号括起来 问题问题 能否用列举法表示不等式能否用列举法表示不等式 x x3737的解集？的解集？分析：由于小于分析：由于小于1010的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来，的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来，因此这个集合不能用列举法表示因此这个集合不能用列举法表示但是可以看出，这个集合中但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：的元素满足性质：（1 1）
11、集合中的元素都小于集合中的元素都小于10.10.（2 2）集合中的元素都是实数集合中的元素都是实数 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，记作这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，记作:10,.x xxR 2.2.描述法描述法描述法定义：描述法定义：用这个集合用这个集合A A所含元素所含元素x x的共同特征的共同特征p(x)p(x)表示集合的方表示集合的方法法奇数集合表示为奇数集合表示为偶数偶数的集合怎样表示为的集合怎样表示为A|()xp x 代表元素代表元素取值范围取值范围共同特征共同特征|21,kxxkZ 还可以把奇数集合表示为还可以把奇数集合表示为|21,kxxkZ|2，kx
12、xkZ例例1 1 用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：（1 1）小于）小于1010的所有自然数组成的集合的所有自然数组成的集合.（2 2）方程）方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合.解：解：（1 1）设小于）设小于1010的所有自然数组成的集合为的所有自然数组成的集合为A A，则则A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=0,2,1,5,4,3,6,9,8,70,2,1,5,4,3,6,9,8,7 （2 2）设方程）设方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合为的所有实数根组成的集合为B B，那么，那么B
13、=1,0=B=1,0=0,10,1.例题解析例例2 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)(1)方程方程x x2 2-2=0-2=0的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合.(2)(2)由大于由大于1010小于小于2020的所有整数组成的集合的所有整数组成的集合.方程方程x x2 2-2=0-2=0有两个实数根为有两个实数根为 ，因此，用列举法表示因此，用列举法表示为为A=.A=.22,22,解：解：(1)(1)设方程设方程x x2 2-2=0-2=0的实数根为的实数根为x,x,并且满足条件并且满足条件x x2 2-2=0-2=0，因此，用描述法表
14、示为，因此，用描述法表示为A=xR|xA=xR|x2 2-2=0.-2=0.大于大于1010小于小于2020的整数有的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,1911,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法，因此，用列举法表示为表示为B=B=x xZ10Z10 x x2020.B=11,12,13,14,15,16,17,18,19.B=11,12,13,14,15,16,17,18,19.(2)(2)设大于设大于1010小于小于2020的整数为的整数为x x，它满足条件，它满足条件x xZ,Z,且且1010 x x20,20,因此，因此，用描述法表示为用描述法表示为 优点优点 缺点缺点直观、明了直观、明了不易看出元素所具有的不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能属性，且有些集合不能用列举法表示用列举法表示把集合中元素所具有把集合中元素所具有的性质描述出来，具的性质描述出来，具有抽象性、概括性、有抽象性、概括性、普遍性的特点普遍性的特点不易看出集合的具体元不易看出集合的具体元素素确定性确定性，互异性互异性，无序性无序性；5.5.集合的集合的表示方法表示方法；4.4.元素与元素与集合的集合的关系关系.。
