1、2.2基本不等式:2abab一、问题引入一、问题引入22+abab新课探究新课探究22ab2ab222SabSab四个三角形正方形ABCD思考：你能在这个图中找出边思考：你能在这个图中找出边长、面积上的一些不等或相等长、面积上的一些不等或相等关系关系?=a b特别地，当时又有怎样的结论？ab22+=2abab新课探究新课探究一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数 ，我们有，我们有 ,a b222abab当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立ab思考：思考：如何证明？如何证明？222222()02ababababab证明：证明：当且仅当当且仅当 时，时，此时此时ab2()0ab222abab重
2、要不等式(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）1.1.思考思考:如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 ,能得到什么结论能得到什么结论?0,0ba,ab222aba bba,基本不等式二二、新课讲解新课讲解如何证明？你能用几种方法证明？如何证明？你能用几种方法证明？2 2_ _0 0 abababab证明：要证：只要证：只要证：只要证：（_-_)显然上式成立.2 ab2 abab方法一：（分析法）代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC=a,BC=b。过点C作垂直于A
3、B的弦DE，连接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形与相似基本不等式的几何意义是：“半径大于等于半弦长。半径大于等于半弦长。”2ababE()ab当且仅当时，取号aCDCDb2CDabCDab方法二：方法二：（几何法）（几何法）P45探究探究代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数几何意义：几何意义：半径长大于等于半弦长半径长大于等于半弦长00,2ababab如果，那么ab当且仅当时，取号基本不等式：2abab22abab变形式：平方平方22R2()abababab如果，那么当且仅当时，取号1.重要不等式重要不等式002()abababab如果，那么
4、当且仅当时，取号2.基本不等式（均值定理）基本不等式（均值定理）基本不等式成立的要素：基本不等式成立的要素：2abab（）（1）看是否均为正数）看是否均为正数（2）看不等号的方向）看不等号的方向（3）看等号是否能取到）看等号是否能取到简言之：一正简言之：一正二定三相等三相等两不等式对比：两不等式对比：1：两个正数积为定值，则和有最小值2：两个正数和为定值，则积有最大值;1,01的最值求：已知例xxx;1,01的最值求：已知变式xxx值。函数有最值，并求其最为何值时，当函数：若变式xxxyx,31,32例题讲解例题讲解类型一：使两个正数积为定值类型一：使两个正数积为定值;)31(,3102的最值
5、求：已知例xxx;)32(,320的最值求变式：已知xxx的最大值求能力提升：已知2221,12,yxyxRyx类型二：使类型二：使两个正数和为定值两个正数和为定值小结小结1:数形转换关系数形转换关系代数证明代数证明222(,)abab a bR 形形数数代数证明代数证明几何解释几何解释 时等号成立ab 几何解释几何解释 时等号成立ab 小结小结2:基本不等式的作用与应用要基本不等式的作用与应用要点？点？小结小结3:本节课感受到了那些数学思本节课感受到了那些数学思想方法？想方法？（1）数与形，动与静相结合（2）换元法、比较法、分析法 最值、范围；一正、二定、三相等。课堂练习1、已知0 x0,y
6、0,且且x+y=1 求求 的最小值的最小值 yx91(1)基本不等式取等号基本不等式取等号的条件的条件(2)“1”的代换在不等的代换在不等式中的应用式中的应用12时，有最小值当且仅当yx 正确？正确？错错类型三：常值代换类型三：常值代换;,1911,0,03的最小值求：已知变式yxyxyx;43,53,0,02的最小值求：已知变式yxxyyxyx;,12,0,022的最小值求提升：已知xyxyxyxyx类型三：常值代换类型三：常值代换 知识要点：知识要点：基本不等式的条件基本不等式的条件:结构特征结构特征:思想方法技巧：思想方法技巧：（1）分析法）分析法,几何法几何法 （2）凑项（系数）凑项（
7、系数）,”1”的代换的代换,课堂总结课堂总结一正、二定、三相等一正、二定、三相等和、积和、积.理解均值不等式的关系理解均值不等式的关系:222若,则22abababa bRabab已知已知x1,求求 x 的最小值以及取得最小值时的最小值以及取得最小值时x的值。的值。11x解：x1 x10 x （x1）1 2 1311x)1(1x)1(1)1(xx当且仅当当且仅当x1 时取时取“”号号.于是于是x2或者或者x0（舍去）（舍去）11x答：最小值是答：最小值是3，取得最小值时，取得最小值时x的值为的值为2例例1:构造积为定值构造积为定值通过加减项的方法配凑通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式成基本
8、不等式的形式.例例2 2（1 1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100 100 的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？是多少？2m,xmym解：设矩形菜园的长为宽为2 10022()40 xyxyxyxy由可得：100,2()xyxy m则篱笆的长为xy等号当且仅当时成立，10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.（2）用一段长为）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面个矩形的长宽各为多少
9、时，菜园面 积最大？最大面积是多少？积最大？最大面积是多少？,xmym解：设矩形菜园的长为宽为2()3618,xyxy 则1822xyxy=92xym矩形菜园的面积为S=xy当且仅当时等号成立，2.这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m81xy解法一：解法一：(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0 x18,解法二：解法二：其面积为:)236(221)236(xxxxS.162836)22362(2122xx当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.解：解：【例例3】某工厂要建造一个长方体无
10、盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.2976004027202400001600,40,2976000.xxyx即时有最小值 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元赵老师花赵老师花10万元购买了一辆家用汽车万元购买了一辆家
11、用汽车,如如果每年使用的保险费果每年使用的保险费,养路费养路费,汽油费约为汽油费约为0.9万元万元,年维修费第一年是年维修费第一年是0.2万元万元,以后以后逐年递增逐年递增0.2万万.则这种汽车使用多少年时则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少它的年平均费用最少?综合应用综合应用分析：“年平均费用年平均费用”的含义？的含义？解：设使用解：设使用x年后，年平均费用为年后，年平均费用为y万元，则万元，则xxxxxy102.02)1(2.09.0 xxx101.021101.0 xx110 x100.1x20.1有最小值时，当且仅当yxx即当即当x=10时，时，y有最小值有最小值3万元万元答：使用答：使用10年后，年平均费用最少。年后，年平均费用最少。(,)3203271xyx yxyy当点在直线上移动时，求的最小值.3333333271112 31231733311732 33,xyxyxyxyxyyxyxy解：当且仅当=即时取得等号此时最小值为变式训练变式训练 知识要点：知识要点：基本不等式的条件基本不等式的条件:结构特征结构特征:思想方法技巧：思想方法技巧：（1）数形结合思想）数形结合思想 （2）换元法）换元法课堂总结课堂总结一正、二定、三相等一正、二定、三相等和、积和、积.理解均值不等式的关系理解均值不等式的关系:222若,则22abababa bRabab
