1、3.1.1 函数的概念（2）函数的表示方法有哪些？函数的三要素是什么？如何用函数定义描述一个函数？研究函数时，常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且ab。我们规定：（1）满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为（2）满足不等式 的实数x的实数叫做开区间，表示为（3）满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如表3.1-2所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.bxa;,babxa);,(babxabxa.,(),baba实质上是一类特殊数集的另一种表示，并不是所有的数
2、集都能用区间表示，比如1,2,3就不能用区间表示.满足 的实数 x 的集合，可以用区间分别表示为：这些区间的几何表示如表3.1-3所示.bxbxaxax,).,(,(bb 实数集R可以用区间表示为（-，+），“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.),(),aa“”是一个符号，而不是一个数，以“-”或“+”为区间的一端时，这一端必须是小括号.例2 已知（1）求函数的定义域；分析分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式 y=f（x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.（1）使根式 有意义的实数x的集合式是
3、使分式 有意义的实数x的集合是 所以这个函数的定义域是,213)(xxxf（2）求 的值；)32(),3(ff（3）.)1(),(0的值时，求当afafa3x,3|xx21x.2|xx,2,3|2|3|xxxxxxx且).,2()2,3即解：例2 已知（1）求函数的定义域；分析分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式 y=f（x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.（2）将 代入解析式，有,213)(xxxf（2）求 的值；)32(),3(ff（3）.)1(),(0的值时，求当afafa解：323与;123133)3(f.33383
4、833112321332)32(f例2 已知（1）求函数的定义域；分析分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式 y=f（x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.总结：给出函数的解析式求定义域，为使式子有意义，一般考虑：（1）分式中分母不为0；（2）偶次方根被开方数非负；（3）当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.（3）因为,213)(xxxf（2）求 的值；)32(),3(ff（3）.)1(),(0的值时，求当afafa解：.)1(),(0有意义，所以afafa;21
5、3)(aaaf.11221131)1(aaaaaf 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。同一函数 例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是 y=350 x，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集，因此它们与正比例函数 也不是同一个函数。)(350Rxxy 此外，函数虽然表示它们的字母不
6、同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数.),(,),(,),(,222xxyyyxttu与例3 下列函数中哪个与函数 y=x 是同一个函数？（1）它与函数 虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数 不是同一个函数.;)()1(2xy;)2(33vu;)3(2xy.)4(2nnm 解：),0|()(2xxxxxy)(Rxxy)(Rxxy （2）它与函数 不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数 是同一个函数.),(33Rvvvu)(Rxxy)(Rxxy （3）它与函数 的定义域都是实数集R，但是当 x0 时，它的对应关系与函数 不相同.所以这个函数
7、与函数 不是同一个函数.,0,0,|2xxxxxxy)(Rxxy)(Rxxy)(Rxxy （4）它与函数 的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数 不是同一个函数.),0|(2nnnnnnm)(Rxxy)(Rxxy思考 至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号y=f（x），明确了函数的构成要素，比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？总结：判断两个函数是否为同一函数，应注意三点：（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即定义域与值域都相同，也不一定是同一函数；（2）函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量因
8、变量是没有限制的；（3）在化简解析式时，必须是等价变形.练习1.求下列函数的定义域解：;741)()1(xxf.131)()2(xxxf,47,074)1(xx得因为.47|741)(xRxxxf的定义域为所以函数,13,0301)2(xxx得且因为.13|131)(xRxxxxf的定义域为所以函数练习2.已知函数解：的值；）求（)2()2(),2(),2(1ffff,23)(3xxxf.0)()(,23)(,23)(233afafaaafaaaf）（；）（0)2()2(,28)2(,28)2(1ffff3.判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由.)()(),(),(2的值）求（afafafaf（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数 和二次函数25130tth；25130 xxy.)(1)(20 xxfxf 和）（1）不为同一个函数.因为炮弹飞行的时间、高度只能为非负值，即函数 中，而函数 中，即这两个函数的定义域不相同.25130tth,260 t25130 xxy,Rx（2）不为同一个函数.即这两个函数的定义域不相同.，中，因为Rxxf1)(,0)(0 xxxg中，而小结作业习题3.1 第一题和第二题
