1、3.1函数的概念及其表示第三章函数的概念与性质目录二、知识讲解 三、小结四、练习一、上节回溯 一、上节回溯不等关系方程一元二次方程不等式等式的性质相等关系一元二次不等式二次函数不等式的性质基本不等式3.1.1函数的概念二、知识讲解问题1某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为S350t这里，t 和 S 是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是t 的函数3.1.1函数的概念二、知识讲解根据问题 1 的条件，我们不能判断列车以 350 km/
2、h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确显然，其原因是没有关注到 t 的变化范围下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应关系 有人说：“根据对应关系 S350t，这趟列车加速到 350 km/h 后，运行 1 h 就前进了 350 km”你认为这个说法正确吗？思考3.1.1函数的概念二、知识讲解列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关系是S350t 其中，t 的变化范围是数集 A1t|0t0.5，S 的变化范围是数集 B1S|0S175对于数集 A1 中的任一时刻 t，按照对应关系，在数集 B1 中都有唯一确定的路程 S 和它对应3.1.1函数的概念二、知识讲解问题2某电气
3、维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6天如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 w（单位：元）是他工作天数 d 的函数吗？3.1.1函数的概念二、知识讲解显然，工资 w 是一周工作天数 d 的函数，其对应关系是w350d 其中，d 的变化范围是数集 A21，2，3，4，5，6，w 的变化范围是数集 B2350，700，1 050，1 400，1 750，2 100对于数集 A2 中的任一个工作天数 d，按照对应关系，在数集 B2 中都有唯一确定的工资 w 与它对应问题 1 和问题 2 中的函数有相同
4、的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？3.1.1函数的概念二、知识讲解问题3图 3.1-1 是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）变化图如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数（AQI）的值 I？你认为这里的 I 是 t 的函数吗？04：0008：0012：0016：0020：0024：000图 3.1-150100150北京空气质量指数轻度污染良优二、知识讲解从图 3.1-1 中的曲线可知，t 的变化范围是数集 A3t|0t24，AQI 的值 I 都在数集 B3I|0I150中对于数集 A3 中的任一
5、时刻 t，按照图 3.1-1 中曲线所给定的对应关系，在数集 B3 中都有唯一确定的 AQI的值 I 与之对应因此，这里的 I 是 t 的函数04：0008：0012：0016：0020：0024：000图 3.1-150100150北京空气质量指数轻度污染良优你能根据图 3.1-1找到中午 12 时的 AQI 的值吗？3.1.1函数的概念二、知识讲解表 3.1-1我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况年份 y恩格尔系数 r()2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201536.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 3
6、3.87 29.89 29.35 28.57二、知识讲解你认为按表 3.1-1 给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？这里，y 的取值范围是数集 A42006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015；根据恩格尔系数的定义可知，r 的取值范围是数集 B4r|0r1对于数集 A4 中任意一个年份 y，根据表 3.1-1 所给定的对应关系，在数集 B4 中都有唯一确定的恩格尔系数 r 与之对应所以，r 是 y 的函数表 3.1-1我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况年份 y恩格尔系数 r()200
7、6 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201536.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57二、知识讲解上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应 上述问题 1问题 4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？归纳二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解例1函数的解析式
8、是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律例如，正比例函数 ykx(k0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 yx(10 x)来描述？思考二、知识讲解解：把 yx(10 x)看成二次函数，那么它的定义域是 R，值域是 By|y 25对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x，对应到 B 中唯一确定的数 x(10 x)如果对 x 的取值范围作出限制，例如 xx|0 x10，那么可以构建如下情境：长方形的周长为 20，设一边
9、长为 x，面积为 y，那么 yx(10 x)其中，x 的取值范围是 Ax|0 x10，y 的取值范围是 By|0y 25对应关系 f 把每一个长方形的边长 x，对应到唯一确定的面积 x(10 x)构建其他可用解析式 yx(10 x)描述其中变量关系的问题情境探究二、知识讲解研究函数时常会用到区间的概念设 a，b 是两个实数，而且 ab我们规定：（1）满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 a，b；（2）满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a，b)；（3）满足不等式 axb 或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 a，b)，(a，b这里
10、的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点这些区间的几何表示如表 3.1-2 所示在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点二、知识讲解实数集 R 可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”表 3.1-2定义名称符号数轴表示x|axbx|axb开区间a，b)(a，b闭区间x|axb(a，b)x|aa，xb，xa(，b(，b)x|xa(a，)x|xba，)aabb二、知识讲解二、知识讲解由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且
11、对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数例如，前面的问题 1 和问题 2 中，尽管两个函数的对应关系都是 y350 x，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是 R，而是 R 的真子集，因此它们与正比例函数 y350 x(xR)也不是同一个函数二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解 至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号 yf(x)，明确了函数的构成要素比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？思考3.1.2函数的表示法
12、二、知识讲解我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 3.1.1 的问题 1、2列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如 3.1.1 的问题 4图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如 3.1.1 的问题 3这三种方法是常用的函数表示法3.1.2函数的表示法二、知识讲解例4某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x1，2，3，4，5)个笔记本需要 y元试用函数的三种表示法表示函数 yf(x)解：这个函数的定义域是数集 1，2，3，4，5用解析法可将函数 yf(x)表示为y5x，x1，2，3，4，5用列表法
13、可将函数 yf(x)表示为笔记本数 x钱数 y123455101520253.1.2函数的表示法二、知识讲解用图象法可将函数 yf(x)表示为图 3.1-2yxO12345510152025图 3.1-2 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？二、知识讲解（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（2）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明？思考二、知识讲解yxO1232112345图 3.1-33二、知识讲解二、知识讲解解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f(x)，g(x)的图象（图 3.1
14、-4）yxO1232112345图 3.1-43454512f(x)x1g(x)(x1)2二、知识讲解（2）由图 3.1-4 中函数取值的情况，结合函数 M(x)的定义，可得函数 M(x)的图象（图 3.1-5）yxO1232112345图 3.1-53454512M(x)yxO1232112345图 3.1-43454512f(x)x1g(x)(x1)2二、知识讲解 你能用其他方法求出M(x)的解析式吗？对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系二、知识讲解例7表 3.1-4 是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表表 3.
15、1-4姓 名王 伟第 1 次第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次测试序号907675张 城9887918892赵 磊班级平均分9588868068657372758288.278.385.480.375.782.6二、知识讲解请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析解：从表 3.1-4 中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为 6 个离散的点）表示出来，如图 3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助从图 3.1-6 可以看到，
16、王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高二、知识讲解yxO1237660708090100图 3.1-6赵磊45王伟班级平均分张城二、知识讲解例8依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个人所得税法向国家缴纳个人所得税（简称个税）2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额应纳税所得额税率速算扣除数 应纳税所得额
17、的计算公式为应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除 专项附加扣除依法确定的其他扣除 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年 60 000 元税率与速算扣除数见表 3.1-5二、知识讲解表 3.1-5级数10，36 0002 3 450全年应纳税所得额所在区间(144 000，300 00085 92020税率（）6733510速算扣除数2 520(36 000，144 0004516 920(300 000，420 00025181 92031 920(420 000，660 000(960 000，)30(660 000，960 00052 920二、知识讲解（1）设全年应纳税所得额
18、为 t，应缴纳个税税额为 y，求 yf(t)，并画出图象；（2）小王全年综合所得收入额为 189 600 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8，2，1，9，专项附加扣除是 52 800 元，依法确定其他扣除是 4 560 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据计算出应纳税所得额 t；第二步，由 t 的值并根据表 3.1-5 得出相应的税率与速算扣除数；第三步，根据计算出个税税额 y 的值由于不同应纳税所得额 t 对应不同的税率与速算扣除数，所以 y 是 t
19、的分段函数二、知识讲解ytO36 000144 000 300 000960 00011 88043 08073 080145 080250 080图 3.1-7420 000 660 000三、小结对应关系定义域函数的表示值域函数函数的概念图象法解析法列表法四、练习2已知函数 f(x)3x32x，（1）求 f(2)，f(2)，f(2)f(2)的值；（2）求 f(a)，f(a)，f(a)f(a)的值答案：（1）f(2)28，f(2)28，f(2)f(2)0（2）f(a)3a32a，f(a)(3a32a)，f(a)f(a)03判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h130t5t2 和二次函数 y130 x5x2；（2）f(x)1 和 g(x)x0答案:（1）不相同因为前者的定义域为 0，26，而后者的定义域为 R（2）不相同因为前者的定义域为 R，而后者的定义域为(，0)(0，)四、练习四、练习25 cmx四、练习yxO5 10201512345
