1、4.5函数的应用（二）第四章 指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用学习目标：1.会通过具体的函数模型分析实际问题，达到数学建模和数学运算核心素养学业质量水平一的层次.2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择，达到数学建模核心素养学业质量水平二的层次.学习重点：根据图、表信息建立函数模型，解决实际问题.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示 t=0
2、时的人口数，r表示人口的年平均增长率.0rtyy e0y（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950-1959年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?.形如 的函数为指数型函数，生产生活中以此函数建构模型的实例很多（如“新课导入”中的题目）.大家审
3、题、建模，尝试完成此问题.cxyba解：（1）由题意知 =55 196，设1950-1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有 67 207=55 196 ，由计算工具r0.021 876.因此，我国在1950-1959年期间的人口增长模型为0y9re0.02187655196,0,9tyet（2）分别取t=1,2,.,8,由 可得我国在19511958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国19511958年各年末的实际人口总数，如下表所示：0.02187655196tye年份年份19511952195319541955195619571958计算所得人
4、口数计算所得人口数/万万564175766558940 60243 615766293864330 65753实际人口总数实际人口总数/万万563005748258796 60266 614656282864563 65994根据1950-1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数.由表和图可以看出，所得模型与1950-1959年的实际人口数据基本吻合.（3）将y=130 000代入 ，由计算工具得t39.15.所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已占到13亿.0.02187655196tye例1.假设你有一笔资金用于
5、投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.你会选择哪种投资方案?先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40（xN*）进行描述；方案二可以用函数y=10 x（xN*）.进行描述；方案三可以用函数进行描述,三种方案所得回报的增长情况的见教材第151页表4.5-5.再画出三个函数的图象（见教材第151页图4.5-7）.10.4 2(*)xyxN由表和图可知，
6、从每天所得回报看，在第1-3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5-8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天所得回报已超过2亿元，下面再看累计的回报数，通过信息技术列表（见教材第152页表4.5-6）.因此，投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.通过对例题的思考和必要的交流，分析归纳例题的解题过程，简述建模的主要步骤：（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（
7、2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性：如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果做出解释并给出其
8、实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围：如果模型与实际问题有较大出人，则要对模型改进并重复上述步展，例1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 和 ，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51215.060.15Lxx22Lx解：设甲地销售x辆，则乙地销售 辆，从而总利润为显然，当 时，S 取得最大值故选B.答案：B15x225.060.152 150.153.06300 015Sxxxxxxxx，N10 x 45.6S 例2.某工厂引进先进生产技术，产品产量从201
9、1年1月到2012年8月的20个月间翻了两番，设月平均增长率为x，则有()A.B.C.D.19()14x20()13x20()12x20()14x解：由平均增长率的定义可知，.故选D.答案：D2014x3.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:第第x天天12345被感染的计算机数量被感染的计算机数量y/台台102039 81 160则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()A.B.C.D.10yx25510yxx210log10yx52xy 答案：D解：对于A选项,当 时,对应的y值分别为 ；对于B选项,当 时,对应的y值
10、分别 ；对于C选项,当 时,对应的y值分别为 ；对于D选项,当 ，对应的y值分别为 .1,2,3,4,5x 10,20,30,40,501,2,3,4,5x 10,20,40,70,1101,2,3,4,5x 2210,20,1010log 3,30,1010log 51,2,3,4,5x 10,20,40,80,160 而表中所给的数据，当 时,对应的y值分别为 .通过比较,即可发现选项D中y的值误差最小,即 能较好地反映y与x之间的关系,故选D.1,2,3,4,5x 5 2xy 2210,20,1010log 3,30,1010log 5数学建模的主要步骤：（1）理解问题（2）简化假设（3）数学建模（4）求解模型（5）检验模型（6）评价与应用
