1、导数与函数的单调性问题一、单选题1. （2022全国联考）函数y=x2-2lnx的单调递减区间为()A. (-1,1)B. (0,1)C. (1,+)D. (0,+)2. （2021陕西期中）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)极小值f(-2)D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)3. （2022江苏期中）若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间12,2内存在单调递
2、增区间，则实数a的取值范围是()A. -2,+)B. -18,+C. -18,-2D. (-2,+)4. （2021陕西其他）函数f(x)=kx-lnx在区间1,+)单调递增，则实数k的取值范围是()A. 1,+)B. 2,+)C. (-,-1D. (-,-2二、多选题5. （2020山东期末）已知函数f(x)=ln|x|-x+1x，则下列结论正确的是()A. fx恰有2个零点B. fx在5+12,+上是增函数C. fx既有最大值，又有最小值D. 若x1x20，且fx1+fx2=0，则x1x2=16. （2020江苏单元测试）函数f(x)=ex-1,x1,ln(x-1),x1与函数g(x)=x
3、-a有且仅有一个交点，则实数a可能取的值有()A. -2B. 0C. 1D. 3三、填空题7. （2021重庆期末）函数f(x)=ln(x+2)-ax在(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围是8. （2021湖南其他）已知函数fx=ax2-xlnx，若f1=3，则a=；若函数fx在1e,+单调递增，则实数a的取值范围是四、解答题9. (2021山东月考)已知函数f(x)=ex1x-lnx+a，其中aR(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递减，求a的取值范围10. (2021黑龙江其他)已知函数f(x)=2lnx+1(1)若f
4、(x)2x+c，求c的取值范围；(2)设a0，讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性11. (2021山西高考真题)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标12. (2022全国联考)对于函数y=f(x)，若在定义域内存在实数x0，使得f(x0+k)=f(x0)+f(k)成立，其中k为大于0的常数，则称点x0,k为函数f(x)的k级“平移点”(1)试判断函数g(x)=log2x是否存在“平移点”若存在，请求出平移点的坐标；若不存在，请说明理由；(2)若函数h(x)=ax2+(2-a)l
5、og2x在1,+)上存在1级“平移点”，求实数a的取值范围。导数与函数的单调性问题 答案和解析1.【答案】B解：y=x2-2lnx的定义域为0,+，y=2x-2x，由于y0，解得-1x0，0x12.【答案】D解：由函数的图象可知，f(-2)=0，f(2)=0，当x0，所以f(x)0，当-2x1，(1-x)f(x)0，所以f(x)0，当1x0，所以f(x)2时，(1-x)f(x)0，fx在-,-2和2,+上单调递增，在-2,2上单调递减故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)故选：D3.【答案】D解：f(x)=1x+2ax，若f(x)在区间12,2内存在单调递增区间，则f(x)0在x12
6、,2有解，故a(-12x2)min，而g(x)=-12x2在(12,2)递增，g(x)g(12)=-2，故a-2，故选D4.【答案】Af(x)=k-1x，函数f(x)=kx-lnx在区间1,+)单调递增，f(x)0在区间1,+)上恒成立k1x，而y=1x在区间1,+)上单调递减，y1，k1，故k的取值范围是：1,+)故本题选A5.【答案】AD解：当x0时，f(x)=lnx-x+1x，f(x)=1x-1-1x2=-x2-x+1x20，所以f(x)在(0,+)上为减函数；又f1=0-1+1=0，所以f(x)在(0,+)上只有一个零点；当x0时，f(x)=ln(-x)-x+1x，f(x)=1x-1-
7、1x2=-x2-x+1x20时，若x10，x20，f(x1)+f(x2)在(0,+)上为减函数，f(x1)+f(x2)=lnx1x2+(x1+x2)(1x1x2-1)=0，因为x1x2=1，满足题意，所以x1x2=1，同理x10，x21.因为当x1时，hx=1-ex-10，所以hx在(-,1上单调递增，当x1时，hx=1-1x-1=x-2x-1，当x1,2时，hx0，所以hx在1,2上单调递减，在2,+上单调递增，作出函数hx的图象如图所示：由图可知，当a0或a=2时，函数y=h(x)的图象与直线y=a有唯一交点，即函数f(x)与函数g(x)的图象有且仅有一个交点因此，AB正确，CD错误故选A
8、B7.【答案】(-,15对函数f(x)求导可得，f(x)=1x+2-a，因为f(x)在(1,3)上单调递增，所以1x+2-a0在(1,3)上恒成立，所以a1x+2在(1,3)上恒成立，所以a(1x+2)min=15，所以a的取值范围为(-,15.故答案为：(-,15.8.【答案】2；12,+)解：f(x)=2ax-(1+lnx)，(1)由f(1)=3得，2a-1=3，即a=2;(2)根据题意可得，f(x)=2ax-(1+lnx)0在区间1e,+)上恒成立，即2a1+lnxx在区间1e,+)上恒成立，设g(x)=1+lnxx(x1e)，所以g(x)=-lnxx2，所以，当x1e,1)时，g(x)
9、0，g(x)单调递增，当x(1,+)时，g(x)0，g(x)单调递减，所以，g(x)在1e,+)上取极大值g(1)，也是最大值，即g(x)max=g(1)=1，所以2a1，即a12故答案为：2;12,+)9. 【答案】解：(1)因为f(x)=ex(1x-lnx+a)，所以f(x)=ex(-1x2-lnx+a)，因为曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，则f(1)=e(-1+a)=e，解得a=2；(2)f(x)=ex(1x-lnx+a)在(0,+)上是减函数，f(x)=ex(-1x2-lnx+a)0对x(0,+)恒成立，所以a1x2+lnx，令g(x)=1x2+lnx，则由g(x)
10、=-2x3+1x=1x(1-2x2)=0得x=2，当x0,2时，g(x)0，所以g(x)在x0,2上单调递减，在x2,+上单调递增，所以g(x)min=g(2)=12+12ln2，故只需ag(x)min=12+12ln2，故a的取值范围是(-,12+12ln210.【答案】解：(1)f(x)2x+c等价于2lnx-2xc-1在0,+上恒成立设h(x)=2lnx-2x，h(x)=2x-2=2(1-x)x(x0)当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，当x(1,+)时，h(x)0,xa,a0)g(x)=2x(x-a)-2lnx+2lna(x-a)2=-2ax-2lnx+2lna+2(x-a
11、)2令w(x)=-2ax-2lnx+2lna+2(x0)，则w(x)=2ax2-2x=2(a-x)x2，令w(x)0，解得0xa，令w(x)a，w(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+)上单调递减w(x)w(a)=0，即g(x)0，g(x)在(0,a)和(a,+)上单调递减11.【答案】解：(1)f(x)=3x2-2x+a，=4-12a，当0，即a13时，由于f(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f(x)0，则f(x)在R上单调递增；当0，即a0，解得xx2，令f(x)0，解得x1xx2，f(x)在(-,x1)，(x2,+)单调递增，在(x1,x2)单调递减；综上，当a13时，f(x)在R
12、上单调递增；当a13时，f(x)在(-,1-1-3a3),(1+1-3a3,+)单调递增，在(1-1-3a3,1+1-3a3)单调递减(2)设曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l，切点为(x0,x03-x02+ax0+1),f(x0)=3x02-2x0+a，则切线方程为y-(x03-x02+ax0+1)=(3x02-2x0+a)(x-x0)，将原点代入切线方程有，2x03-x02-1=0，解得x0=1，切线方程为y=(a+1)x，令x3-x2+ax+1=(a+1)x，即x3-x2-x+1=0，解得x=1或x=-1，曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,a+1)
13、和(-1,-a-1)12.【答案】解：(1)根据“平移点”定义得g(x0+k)=g(x0)+g(k)，则log2(x0+k)=log2x0+log2k，即x0+k=kx0，所以(k-1)x0=k，当01时，方程(k-1)x0=k的解为x0=kk-10，所以函数g(x)=log2x存在“平移点”(kk-1,k)；(2)因为函数h(x)在1,+)上存在1级“平移点“，所以方程h(x+1)=h(x)+h(1)在1,+)上有解，所以a(x+1)2+(2-a)log2(x+1)=ax2+(2-a)log2x+a，化简得2ax+(2-a)log2x+1x=0，当a=2时，x=01,+)，不符合题意;当a2时，2aa-2=1xlog2(1+1x)，令t=1x0,1,Ft=tlog21+t,Ft=log21+t+t1+tln20，所以F(t)在(0,1上单调递增，所以Ft0,1,所以02aa-2log22=1，解得-2a0，所以函数h(x)=ax2+(2-a)log2x在1,+)上存在1级“平移点”时，实数a的取值范围为-2,06
