1、昆明市昆明市 2020 届高三届高三“三诊一模三诊一模”摸底诊断测试摸底诊断测试 文科数学文科数学 1.设全集U R， 集合 |10Ax x ， 集合| 23Bxx ， 则图中阴影部分表示的集合为 （ ） A. |3x x B. | 31xx C. |2x x D. | 21xx 【答案】D 【分析】 由图可得阴影部分表示AB,进而利用交集的定义求解即可 【详解】由题,|1Ax x,由图,图中阴影部分表示AB, 所以| 21ABxx , 故选:D 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查利用韦恩图求集合 2.已知复数z在复平面内对应的向量为OZ，O为坐标原点，则z为（ ） A. 1 B. 2 C.
2、 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由图, 1,1OZ ,进而由复数的模的定义求解即可 【详解】由图,1,1OZ ,所以 22 112z , 故选:B 【点睛】本题考查复数的模,考查复数在复平面上的表示 3.己知矩形ABCD中， 4,2ABBC，则AC BD （ ） A. 20 B. 12 C. 12 D. 20 【答案】C 【分析】 由矩形ABCD可得AC ABAD ,BD ADAB ,进而求解即可 【详解】由题,因为矩形ABCD,所以AC ABAD ,BD ADAB ,2ADBC, 所以 22 22 2412AC BDABADADABADAB , 故选:C 【点睛】本题考查向量
3、的数量积,考查平面向量分解定理的应用 4.己知 , 2 ， 3 sin 5 ，则sin2（ ） A. 24 25 B. 24 25 C. 7 25 D. 7 25 【答案】A 【分析】 由 22 sincos1且 , 2 可得 4 cos 5 ,进而利用正弦的二倍角公式求解即可 【详解】由题,因为 22 sincos1 ,所以 4 cos 5 或 4 cos 5 , 因为, 2 ,所以cos0 ,所以 4 cos 5 , 所以 3424 sin22sincos2 5525 , 故选:A 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式的应用,考查同角的三角函数关系的应用 5.根据中国生态环境部公布的 2017
4、 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图： 则下列说法错误的是（ ） A. 2018年的水质情况好于 2017年的水质情况 B. 2018年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加 C. 2018年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质 D. 2018年、类水质的占比超过60% 【答案】C 【分析】 根据饼图逐一判断 【详解】A2018 年、类水质的占比明显超过 2017年、类水质的占比，故正确； B2018 年、类水质的占比达到 60.4%，而 2017 年、类水质的占比为 46.4%，故正确； C. 2018年与 2017年相比较，占比减小幅度最大的是 I
5、II 类水质，故错误； D. 2018 年、类水质的占比达到 60.4%，超过60%，故正确. 故选：C 【点睛】本题考查饼图的识别及认识，是基础题 6.己知 2 F为双曲线:C 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，且 2 F在C的渐近线上的射影为点,H O为坐标原 点，若 2 OHF H，则C的渐近线方程为（ ） A 0xy B. 30xy C. 30xy D. 20xy 【答案】A 【分析】 由题,利用点到直线距离公式可得 2 F Hb,则 2 2OFcb,进而求解即可 【详解】设 2 ,0F c,一条渐近线为0bxay,则 2 2 2 bc F Hb ba , 所以OH
6、b, 所以 2 2OFcb,由 22 cab 可得ab, 所以渐近线为y x ,即 0xy, 故选:A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,考查数形结合思想 7.如图所示， 九连环是中国的一种古老的智力游戏， 它环环相扣， 趣味无穷 它主要由九个圆环及框架组成， 每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆 环在框架上可以解下或者套上 九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上 将第n个 圆环解下最少需要移动的次数记为 f n（9n且 * nN ） ，已知 11f， 21f，且通过该规则可 得 1221f nf nf n，则解下第
7、5 个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 7 B. 16 C. 19 D. 21 【答案】B 【分析】 根据递推关系计算即可 【详解】解：由已知 32211 1 2 14fff ， 4322142 17fff ， 5423178 1 16fff ， 故选：B 【点睛】本题考查递推关系的应用，是基础题 8.设 fx是函数 f x的导函数， yfx的图象如图所示，则 yf x的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可 【详解】解：根据导函数图像， yf x的增区间为( 3, 1),(0,1)，减区间为( 1,0),(1,3
8、)， 观察选项可得 D符合， 故选：D 【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像 重点关注函数的单调性，是基础题 9.ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若120B ， 21 sin 7 C ，2c ， 则ABC 的面积等于（ ） A. 3 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 3 【答案】A 【分析】 先通过已知求出sin,cos ,cosBBC，进而根据sinsin()ABC求出sin A，再利用正弦定理求出b，则 利用面积公式可求出ABC的面积 【详解】解：120B Q， 31 sin,cos 22 BB ， 又 21
9、 sin 7 C ，C为锐角， 2 7 cos 7 C， sinsin()sincoscossinABCBCBC 32 712121 272714 ， 由正弦定理得 sinsin bc BC ， 23 sin7 s1in2 7 2 c bB C ， 113 sin72 21 22142 ABC SbcA ， 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么 即可，是基础题 10.已知函数 xx f xee，则（ ） A. ( 2)5ffef B. ( 2)5fff e C. 5( 2)f eff D. 25fff e 【答案】D 分析】 求
10、导可得 1 0 x x fxe e ,即 f x在R上单调递增,进而求解即可 【详解】由题, 1 0 x x fxe e ,所以 f x在R上单调递增, 因为25e, 所以 25fff e, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用单调性比较大小 11.某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一 个棱长为4 3的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合） ，若其中一个截面圆的周长 为4，则该球的半径是（ ） A. 2 B. 4 C. 2 6 D. 4 6 【答案】B 【分析】 先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小
11、圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可 【详解】解：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2 3， 根据截面圆的周长可得42 r，得2r =， 故由题意知 2 22 2 3Rr，即 2 22 22 316R ，所以4R ， 故选：B 【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题 12.己知函数( ) sin(0) 4 f xx 在0,2上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. 1 3 , 4 4 B. 3 5 , 4 4 C. 5 9 , 8 8 D. 7 9 , 8 8 【答案】C 【分析】 先 求 得,2 444
12、 x , 由 此 时 f x有 且 仅 有 两 个 零 点 , 且 0 4 可 得 22 4 ,进而求解即可 【详解】由题,因为0,2x,所以,2 444 x , 因为此时 f x有且仅有两个零点,且0 4 , 所以22 4 ,解得 59 88 , 故选:C 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质的应用,考查数形结合思想 13.能够说明“若ab，则 22 ab ”是假命题的一组整数, a b的值依次为_. 【答案】0，1（答案不唯一） 【分析】 找到一组满足ab,且不满足 22 ab的数即可 【详解】由题,当0,1ab 时,ab,但 22 01ab ,不满足 22 ab ,则可说明原命题是假命
13、题, 故答案为:0,1（答案不唯一） 【点睛】本题考查特殊值法判断命题的真假,属于基础题 14.若变量 , x y满足 20, 40, 0, xy xy y 则2xy最大值为_. 【答案】4 【分析】 先画出不等式组表示的平面区域,再由目标函数的几何意义求解即可 【详解】由题,设目标函数为2zxy,则 11 22 yxz, 由不等式组可得可行域如图所示, 平移直线 11 22 yxz,当 11 22 yxz与可行域交于点A时,截距最小,则z最大, 联立 40 0 xy y ,解得4,0A, 所以4z ,即2xy的最大值为 4, 故答案为:4 点睛】本题考查根据线性规划求最值,考查数形结合思想
14、15.已知椭圆M： 22 22 10 xy ab ab 的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形 OABC为平行四边形，且45OAB，则椭圆M的离心率为_. 【答案】 6 3 . 【分析】 四边形OABC为平行四边形，45OAB， 直线OC的方程为：y x ， 联立 22 22 1 yx xy ab ， 解得： C x 同 理联立 22 22 1 yxa xy ab ，解得 B x根据| |OACBa，即 CB xxa化简即可得出 【详解】解：如图所示， 四边形OABC为平行四边形，45OAB， 直线OC的方程为：y x ， 联立 22 22 1 yx xy ab ，解得： 22
15、 C ab x ab 同理联立 22 22 1 yxa xy ab ，化为： 2223422 20abxa xaa b 解得 323 2222 2 B aaba xa abab | |OACBa， 23 22 22 ababa a ab ab 化为： 22 3ba 椭圆的离心率 22 22 11 33 6cbb e aab 故答案为： 6 3 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难 题 16.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个人所得税法向国家缴纳 个人所得税（简称个税） 2019年 1 月 1日起，个税税额根
16、据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算 公式为： 个税税额应纳税所得额 税率速算扣除数 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额综合所得收入额免征额专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除 其中免征额为每年 60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 0,36000 3 0 2 36000,144000 10 2520 3 144000,300000 20 16920 4 300000,420000 25 31920 5 420000,660000 30 52920 6 660000,960000 35 85920 7 960000,
17、45 181920 备注： “专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。 “专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出。 “其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政 策规定的费用。 某人全年综合所得收入额为 160000 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费 和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是 24000 元，依法确 定其他扣除是 0 元，那么他全年应缴纳综合所得个税_元 【答案】1880.
18、【分析】 根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可 【详解】解：由已知应纳税所得额160000 60000 160000 20%2400044000， 则个税税额44000 10%25201880 故答案为：1880 【点睛】本题考查实际问题的解答，考查理解能力和计算能力，是基础题 17.近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分.昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花 都，有“全国 10支鲜花 7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉.为进一步了解鲜花品种的销售情况，现随 机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连续 5 日的玫瑰花日销售情况进行跟踪调查，将日销售量作为样本绘制
19、成茎叶图如下，单位：扎（20支扎）. （1）求甲、乙两户花农连续 5日的日均销售量，并比较两户花农连续 5 日销售量的稳定性； （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的概率 【答案】 （1）甲日平均销售量为28，乙日平均销售量为 30，乙的销售量比甲稳定（2） 8 25 【分析】 （1）先由数据求得平均数,再由茎叶图中数据的集中程度判断稳定性； （2）先写出所有的基本事件,再找到甲的销售量比乙的销售量高的情况,进而求解即可 【详解】 （1）记甲、乙连续 5日的日平均销售量分别为x甲,x乙, 则 1825273040 28 5 x 甲, 25283031
20、36 30 5 x 乙, 由茎叶图可知乙的数据比较集中,说明乙的销售量比甲稳定 （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个,总的基本事件为: 18,25,18,28,18,30,18,31,18,36,25,25,25,28,25,30,25,31,25,36, 27,25,27,28,27,30,27,31,27,36,30,25,30,28,30,30, 30,31,30,36,40,25,40,28,40,30,40,31,40,36,共 25 个基本事件, 其中甲高于乙的有: 27,25,30,25,30,28,40,25,40,28,40,30,40,31,40,36,共
21、8 个基本事件. 根据古典概率计算公式,甲的销售量比乙的销售量高的概率为 8 25 P 【点睛】本题考查由茎叶图求平均数,考查列举法求古典概型的概率,考查数据处理能力 18.在长方体 1111 -ABCD ABC D中， 1 ADAA. （1）证明：平面 1 ABD 面 11 BC D； （2）求三棱锥 11 B ABD-与 11 D ABD-的体积比. 【答案】 （1）证明见解析（2）11 【分析】 （1） 由四边形 11 A ADD是正方形可得 11 ADAD,由长方体可得 111 ADC D,利用平行线的性质,进而求证即 可； （2）由长方体的性质可得 11 / /B DBD,则 11/
22、 / B D平面 1 ABD,即 1 B, 1 D到平面 1 ABD的距离相等,进而求 解即可 【详解】 （1）证明:连接 1 AD,因为 1 ADAA,所以四边形 11 A ADD是正方形,所以 11 ADAD, 由题,因为 11 / /ADBC,所以 11 ADBC, 又 111 ADC D, 1111 BCC DC, 111 ,BC C D 平面 11 BC D, 所以 1 A D 平面 11 BC D, 又 1 A D 平面 1 ABD, 所以平面 1 ABD 平面 11 BC D （2）解:连结 11 B D,由题,因 11 / /B DBD, 所以 11/ / B D平面 1 AB
23、D, 所以 1 B, 1 D到平面 1 ABD的距离相等, 故三棱锥 11 BABD与 11 DABD的体积比为 1:1. 【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查棱锥的体积,考查推理论证能力 19.设等差数列 n a公差为d，等比数列 n b公比为q，已知 411 1,64,2abqdb . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）记 212nnn cab ，求数列 n c的前n项和 n S. 【答案】 （1）21 n an， 1 4n n b ， （2） 21 2 44 2 15 n nn 【分析】 （1）由 3 41 64bbq求得q,即可得到d,进而求解即可； （2）由（1）可得
24、 21 212 434 n nnn cabn ,则利用分组求和法求解即可 【详解】 （1）因为 4 64b ,所以 3 1 64bq , 又 1 1b ,所以4q , 又因为2qd,所以2d , 因为 1 1a , 所以 1 (1)21 n aandn, 11 1 4 nn n bbq . （2） 2121 212 2 211 4434 nn nnn cabnn . 所以 321 (15943)444 n n Sn 2 2 414 (143) 214 n nn 21 2 44 2 15 n nn . 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式,考查等差数列、等比数列前n项和公式的应用,考查分
25、组 求和法求数列的和 20.已知抛物线C： 2 4yx的焦点为F，准线为l，P是C上的动点. （1）当4PF 时，求直线PF的方程； （2）过点P作l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为Q，证明：直线PQ经 过定点，并求出该定点的坐标 【答案】 （1）33yx或33yx ； （2）直线PQ恒过点1,0，理由见解析. 【分析】 （1）设 00 ,P xy，利用 0 1PFx 求出 0 x，进而可求出 0 y，利用点P的坐标求出 PF k，用斜截式可写 出直线方程； （2） 设 2 0 00 ,0 4 y Pyy ， 则 0 1,My， 联立直线OM与抛物线C， 求出点Q坐标
26、， 进而写出直线PQ 的方程，可得其所过的定点 【详解】 （1）设 00 ,P xy，由4PF 得 0 14x，解得： 0 3x ， 所以 0 2 3y . 所以 2 30 3 3 1 PF k ， 所以直线PF的方程为：33yx或33yx . （2）设 2 0 00 ,0 4 y Pyy ，则 0 1,My， 直线OM的方程为： 0 yy x . 联立 0 2 4 yy x yx 得： 22 0 40y xx，解得 2 00 44 ,Q yy . 当 0 2y 时，直线PQ的方程为 1x ， 当 0 2y 时，直线PQ方程为： 2 00 0 2 0 4 44 yy yyx y ， 化简得：
27、0 2 0 4 1 4 y yx y ， 综上，可知直线PQ恒过点1,0. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，锻炼了学生计算能力，是基础题 21.已知函数 () x f xeaxa aR. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个零点 12 ,x x，求实数a的取值范围，并证明 12 0xx. 【答案】 （1）见解析（2）1a ，证明见解析 【分析】 （1）先求导可得( )() x fxea xR,分别讨论0a 和0a 的情况,进而求解即可； （2）设 12 xx,当0a 时由单调则不符合题意；当 0a 时, min ( )(ln )0f xfa,可得1a
28、 ,利用零点存在 性定理可判断 1 ( 1,0)x , 2 (ln ,ln )xa aa,进而求解即可；由于 1 1 1 x ea x, 2 2 1 x ea x可得 11 lnln1xax, 22 lnln1xax,则 2 21 1 1 ln 1 x xx x ,设 2 1 1 (1) 1 x t t x 可得 1 2 ln 1 1 ln 1 1 t x t tt x t ,进 而证明 12 (1)ln 20 1 tt xx t 在1t 时恒成立即可 【详解】 （1）由题意得( )() x fxea xR, 当0a 时,( )0fx ,所以 ( )f x在R上单调递增； 当0a 时,由( )
29、0fx ,得lnxa, 当lnxa时,( )0fx , ( )f x在(,ln )a 上单调递减； 当lnxa时,( )0fx , ( )f x在(ln ,)a 上单调递增. （2）由于 ( )f x有两个零点 12 ,x x,不妨设 12 xx, 由（1）可知,当0a 时, ( )f x在R上单调递增,不符合题意； 当0a 时,xR, min ( )(ln )(ln1)ln0f xfaaaaaa ,即ln 0a ,解得1a , 此时有 1 ( 1)0,(0)10ffa e ,所以存在 1 ( 1,0)x ,使得 1 0f x, 由于ln1(1) x yexxx,所以 1 1 x ye x 在
30、(1,)上单调递增, 所以当1x 时,20ye ,所以ln1 x yexx在(1,)上单调递增, 所以当1x 时,ln120 x yexxe ； 所以 ln (ln )(ln1)ln10 aaa f aaea aaa eaa , 所以存在 2 (ln ,ln )xa aa,使得 2 0f x, 综上,当1a 时, ( )f x有两个零点 12 ,x x. 证明:由于 1 1 1 x ea x, 2 2 1 x ea x,且 12 10lnxax ,则 12 011xx , 所以 11 lnln1xax, 22 lnln1xax,所以 2 21 1 1 ln 1 x xx x , 设 2 1 1
31、 (1) 1 x t t x ,有 2 1 21 1 1 ln x t x xxt ,则 1 2 ln 1 1 ln 1 1 t x t tt x t , 要证 12 0xx,只需证 (1)ln 20 1 tt t ,即证 2(1) ln 1 t t t , 设 2(1) ( )ln(1) 1 t h ttt t ,则 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t h t ttt t , 所以( )h t在(1,)上单调递增,所以当1t 时, ( )10h th ,即 2(1) ln 1 t t t , 故 12 0xx 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理函数的
32、零点问题,考查分类讨论思想与 运算能力 22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合曲线C的极坐标方程是 2 2 6 12sin ，直线l的极坐标方程是cos20 4 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）设点2,0P，直线l与曲线C相交于点M、N，求 11 PMPN 的值 【答案】 （1） 22 1 62 xy ， 20xy； （2） 6. 【分析】 （1）利用 222 siny xy ，将极坐标方程化为直角坐标方程； （2）写出直线l过点2,0P的参数方程，代入曲线C，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果 【详解】 （1）曲线C化为： 222 2s
33、in6， 将 222 siny xy 代入上式，即 22 36xy， 整理，得曲线C的直角坐标方程 22 1 62 xy . 由cos20 4 ，得 22 cossin20 22 ， 将 cos sin x y 代入上式，化简得20xy， 所以直线l的直角坐标方程20xy. （2）由（1）知，点2,0P在直线l上，可设直线的参数方程为 3 2cos 4 3 sin 4 xt yt （t为参数） ， 即 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ， 代入曲线C的直角坐标方程，得 22 11 2 2436 22 ttt ， 整理，得 2 210tt ， 所以 2 24 160 ， 1 2 10
34、t t ， 由题意知， 12 121 2 1111t PNtPtt tM t 6 6 11 . 【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准 参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题 23.已知函数 2 2f xxx. （1）求不等式 3f x 的解集； （2）若aR，且0a ，证明： 1 4114af x a . 【答案】 （1）| 15xx ； （2）见解析. 【分析】 （1）分类讨论去绝对值，作出函数的图像，根据图像得到函数的单调性，利用单调性结合图像可得不等式 的解集； （2）利用绝对值的三角不等式以及基本不等式可证明结果 【详解
35、】 （1）法一： 2,0 2232,01 2,1 xx f xxxxx xx ， 作出 f x的图象，如图所示： 结合图象， 函数 f x在,1上单调递增， 在 1,上单调递减， 又13f ， 53f ， 所以不等式 3f x 的解集是| 15xx . 法二： 223f xxx ， 等价于： 0 223 x xx 或 01 223 x xx 或 1 223 x xx ， 解得：10x 或01x或15x ， 所以不等式 3f x 的解集是| 15xx . （2）由（1）知函数 f x的最大值是 11f，所以 1f x 恒成立. 因为 11 144111a aa a 11 444aa aa ， 当且仅当 1 2 a 时，等号成立. 所以 1 4114af x a . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值的三角不等式的应用，是中档题
