1、13.1.2 3.1.2 函数的表示法函数的表示法2探究点探究点1 1 解析法解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法优点优点:函数关系清楚、精确；容易从自变量的函数关系清楚、精确；容易从自变量的值求出其对应的函数值；便于研究函数的性质。值求出其对应的函数值；便于研究函数的性质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。解析法是中学研究函数的主要表达方法。22,21,(0)SRyxyaxbxc a如：如：3探究点探究点2 2 列表法列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.如：平方表，平方根表，
2、汽车、火车站的里程价目如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表、银行里的表、银行里的“利率表利率表”等。等。优点优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用际生产和生活中有广泛的应用.4探究点探究点3 3 图象法图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.如：一次函数如：一次函数y ykxkxb(kb(k0 0、b b0)0)的图象是一条直线；的图象是一条直线；y yO Ox x优
3、点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础是今后利用数形结合思想解题的基础.5例例1 1 某种笔记本的单价是某种笔记本的单价是5 5元，买元，买 个笔记本需要个笔记本需要y y元元.试用函数的三种表示法表示函数试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).y=f(x).x x1,2,3,4,5x x1 12 23 34 45 5y y5 51010151520202525y5x,x1,2,3,4,5解：这个函数的定义域是数集解：这个函数的定义域是数集1,2,3,4,51,2,3,4,5列表法表示如下：列表法表示如下：用图象法可将函
4、数表示为右图：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示为用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、孤立的点等。线、孤立的点等。6(1)(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？用描点法画函数图象的一般步骤是什么？列表、描点、连线列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线视其定义域决定是否连线)函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域一般要写出
5、函数的定义域.7作函数图象时应注意的事项作函数图象时应注意的事项:(1)(1)画函数图象时首先关注函数的定义域画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作即在定义域内作图图;（定义域优先）（定义域优先）(2)(2)图象是实线或实点图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象衬托整个图象;(3)(3)要标出某些关键点（例如图象的顶点、端点、与坐标要标出某些关键点（例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等）或对称轴等一些本质特征轴的交点等）或对称轴等一些本质特征.提升总结提升总结81.1.画出下列函数的图象画出下列函数的图象:(1)(1)(2)(2)f(
6、x)x2,(xZ,x3);且且解：（解：（1 1）（2 2）22,2,3)yxxx 9 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式式就叫函数的解析式，简称解析式.探究点探究点4 4 求函数解析式求函数解析式一、函数的解析式一、函数的解析式:10例例2 2 已知已知f(x)f(x)是一次函数，是一次函数，ff(x)=4xff(x)=4x1 1，求，求f(x)f(x)的的解析式解析式.解：设解：设f(x)=kx+bf(x)=kx+b（k0k0）则则 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b ff(x)=f(kx+
7、b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x=k2x+kb+b=4x1 12k4kbb1 则则有有k2k21b1b3 或或1f(x)2xf(x)2x13 或或待定待定系数系数法法适合：已知函数的模型适合：已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数求函数解析式解析式.113.3.已知反比例函数已知反比例函数f(x),f(x),满足满足f(3)f(3)6 6，求，求f(x)f(x)的解析式的解析式.则则kkf(x）=(k0),f(3)=-6.x3解得k=-18.18故f(x)=-.x解：设反比例函数为解：设反比例函数为1212解：解：适合：已知
8、适合：已知fg(x)fg(x)的解析式的解析式,求求f(x).f(x).换元换元法法例例4 4 已知已知(1)2fxxx，求，求()f x21,(1)(1)txxtt令则22()(1)2(1)1(1)f ttttt所以2()1(1)f xxx所以13一题多解一题多解解：解：(1)2fxxx因为2(1)1x(1 1)x 2()1(1)f xxx所以配凑配凑法法1421x3.f(),f(x).x1x若求11:t,x(t0,t1),xt解解 令令则则221ttf(t)1t11()t2xf(x)(x0 x1).x1，15例例5 5 已知已知，求，求f(x).13()2()(0)f xfx xx13()
9、2()113()2()f xfxxff xxx解：由解：由32()(0)55xf xxx解得解得消去消去法法适合适合:同时含有同时含有1f(x)f()f(x)f(x).x与，或与的表达式163.3.已知已知求求f(x)f(x)的解析式的解析式.2f(x)2f(x)3xx,22f(x)2f(x)3xxf(x)2f(x)3xx 21fxx3x.3解：解：17求函数解析式的常用方法有：求函数解析式的常用方法有：1.1.待定系数法待定系数法2.2.换元法换元法(构造法构造法)3.3.消元法消元法4.4.配凑法配凑法18分段函数及映射分段函数及映射19画出函数画出函数 的图象的图象.x xy yO O2
10、 22yx4 x4xy12看清自变量的看清自变量的值所在的区间值所在的区间2x4x4,x2,yx1,x2.220探究点探究点1 1 分段函数分段函数（1 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；注意注意（2 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集段值域的并集.有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.21以下叙述正确的有（以下叙述正确的
11、有（）(1)(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的值域是各段值域的并集并集.(2)(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，但它是一分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，但它是一个函数个函数.(3)(3)若若D1D1、D2D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1D2 D1D2 也能成立也能成立.（A A）1 1个个 （B B）2 2个个 （C C）3 3个个 （D D）0 0个个C C变式练习：变式练习：221.1.求分段函数的函数值：求分段函数的函数值：例例1 1 已知函数
12、已知函数f(x)=f(x)=x+2,xx+2,x1 1；x2,x2,1 1x x2 2；2x,x2.2x,x2.(2)(2)若若f(x)=3,f(x)=3,求求x x的值的值.(1)(1)求求 的值的值;1f 3,f,f52（）11f 36,f,f5324（）解：（解：（1 1）x3（2 2）23在它的定义在它的定义域中，对于域中，对于自变量的不自变量的不同取值范围，同取值范围，对应关系不对应关系不同同.例例2 2 画出函数画出函数 的图象的图象.yx -2 -30 123xy12345-12.2.画分段函数的图象画分段函数的图象x ,x0,yx ,x0.24例例3 3 某市某市“招手即停招手
13、即停”公共汽车的票价按下列规则制定：公共汽车的票价按下列规则制定：（1 1）5 5公里以内公里以内(含含5 5公里公里)，票价，票价2 2元；元；（2 2）5 5公里以上，每增加公里以上，每增加5 5公里，票价增加公里，票价增加1 1元（不足元（不足5 5公里公里的按的按5 5公里计算）公里计算）.如果某条线路的总里程为如果某条线路的总里程为2020公里，请根据题意，公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.3.3.求分段函数的解析式求分段函数的解析式25y=y=2,0 x 52,0 x 53,5 x 103,5 x 1
14、04,10 x 154,10 x 155,15 x205,15 x20解：设票价为解：设票价为y y元，里程为元，里程为x x公里，由题意可知，自变量公里，由题意可知，自变量x x的取值范围是（的取值范围是（0 0，2020由由“招手即停招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：函数解析式：根据这个函数解析式，根据这个函数解析式，可画出函数图象，可画出函数图象，如右图如右图:y y2 2O O5 51010151520201 13 34 45 5x x26求求 的值的值.解：解：f 15,f 7 f 1512,f 761.1.已知已知3 ,9,(
15、)(4),9.xxf xf f xx272.2.某质点在某质点在30s30s内运动速度内运动速度vcm/svcm/s是时间是时间t t的函数的函数,它的图象如右图，它的图象如右图，用解析式表示出这个函数用解析式表示出这个函数.解解:v(t)=:v(t)=t+10,0 t5,t+10,0 t5,3t,5 t3t,5 t10,10,30,10 t 30,10 t 20,20,-3t+90,20 t30.-3t+90,20 t30.3030t/st/s1010202010103030v/cmv/cms-1s-1O O1515202025255 528填写下图中的对应关系填写下图中的对应关系AB（1)
16、1)相应国家的首都相应国家的首都(2)(2)求平方求平方(3)(3)乘以乘以2 2 北京 首尔中国 韩国x xx2x2x一对一多对一多对一一对一一对一(1),(2),(3)(1),(2),(3)的共同特征的共同特征:集合集合A A中的任何一个元素中的任何一个元素,在集在集合合B B中都有唯一的元素和它对应中都有唯一的元素和它对应.X X的首都的首都1 1 2 2 3 3 1 4 9AB1 2 3 4 5 61 2 3 AB探究点探究点2 2 映射映射29 一般地，设一般地，设A A、B B是两个非空的集合，如果按某一个确是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系定的对应关系f f，使对于集合
17、，使对于集合A A中的任意一个元素中的任意一个元素x x，在集合，在集合B B中都有唯一确定的元素中都有唯一确定的元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f:ABf:AB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个映射的一个映射.映射的概念映射的概念若对应是映射，必须满足两个条件：若对应是映射，必须满足两个条件：A A中任何一个元素在中任何一个元素在B B中都有元素与之对应中都有元素与之对应.A A在在B B中所对应的元素是唯一的中所对应的元素是唯一的.注注意意30因此还可以用映射的概念来定义函数：因此还可以用映射的概念来定义函数：如果如果A A、B B是非空数集，那么是非空数
18、集，那么A A到到B B的映射的映射f:AB,f:AB,就叫做就叫做A A到到B B的函数，的函数，记作：记作：y=f(x)y=f(x)函数是一种特殊的映射函数是一种特殊的映射函数函数映射映射对应对应31例例4 4 以下给出的对应是不是从集合以下给出的对应是不是从集合A A到到B B的映射？的映射？(1)(1)集合集合A AP|PP|P是数轴上的点是数轴上的点，集合，集合B BR R，对应关系，对应关系f f：数轴上的点与它所代表的实数对应；：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)(2)集合集合A AP|PP|P是平面直角坐标系中的点是平面直角坐标系中的点，集合，集合B B(x(x，y)|xR
19、y)|xR，yRyR，对应关系，对应关系f f：平面直角坐标系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；中的点与它的坐标对应；(3)(3)集合集合A Ax|xx|x是三角形是三角形，集合，集合B Bx|xx|x是圆是圆，对应，对应关系关系f f：每一个三角形都对应它的内切圆；：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)(4)集合集合A Ax|xx|x是新华中学的班级是新华中学的班级，集合，集合B Bx|xx|x是新是新华中学的学生华中学的学生，对应关系，对应关系f f：每一个班级都对应班里的：每一个班级都对应班里的学生学生.是是不是不是是是是是322.2.判断下列对应是否为映射？判断下列对应是否为映射？
20、abcefgabcdefgabcefgd是是是是不是不是333.3.判断下列对应是不是从判断下列对应是不是从A A到到B B的映射：的映射：(1)A(1)AN N，B BN N*，f f：x|xx|x2|2|；(2)A(2)Ax|0 x6x|0 x6，B By|0y2y|0y2，f f：xyxy(3)A(3)Ax|x3x|x3，xNxN，B By|y0y|y0，yZyZ，f f：xyxy ；解：（解：（1 1）集合）集合A A中的元素中的元素2 2在对应关系下，在对应关系下，B B中没有元素中没有元素与之对应，故不是映射与之对应，故不是映射.（2 2）A A中元素中元素6 6在对应关系下，在对应关系下，B B中没有元素与之对应，中没有元素与之对应，故不是映射故不是映射.（3 3）是映射）是映射.1x;22x2x434你能说出函数与映射之间的异同吗你能说出函数与映射之间的异同吗?(1)(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数的推广；的推广；(2)(2)函数是非空数集函数是非空数集A A到非空数集到非空数集B B的映射，而对于映射，的映射，而对于映射，A A和和B B不一定是数集。不一定是数集。
