1、函数的最大函数的最大(小小)值值制作人：桃园制作人：桃园新课程标准新课程标准核心素养核心素养1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义数学抽象数学抽象2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值数学运算数学运算3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小小)值问题值问题数据分析数据分析4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题能利用函数的最值解决有关的实际应用问题数学建模数学建模5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大掌握利用函数的图象和函数
2、的单调性求一些简单函数的最大(小小)值的方法值的方法数据分析数据分析知识点一知识点一：函数的最大：函数的最大(小小)值的概念值的概念 曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为2.1最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数 y=f(
3、x)的的最大值最大值 2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 思考思考2：若函数：若函数f(x)M，则，则M一定是函数的最大值吗？一定是函数的最大值吗？提示：提示：不一定，只有定义域内存在一点不一定，只有定义域内存在一点x0，使，使f(x0)M时，时，M才是函数的最大值，否则不是才是函数的最大值，否则不是函数的最值与值域有怎样的关系？函数的最值与值域有怎
4、样的关系？(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值题型一题型一利用函数的图像求函数的最值(值域)xyo12341234-1-25(2)由图可知由图可知f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(1，0)，(2，5)，单调递减区间为，单调递减区间为(0，2)，值域为，值域为1，3.1函
5、数函数f(x)在在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是分别是_1、2 xyo123123-1-2故故f(x)的最大值为的最大值为1，最小值为，最小值为0题型二题型二利用函数的单调性求最值(值域)x1x2(x1+1)(x2+1)同理同理f(x)在在2,4上是增函数上是增函数当当x2时，时，f(x)取得最小值取得最小值4；当；当x1或或x4时，时，f(x)取取得最大值得最大值5.2.求函数求函数 在区间在区间2，6上的最大值和最小值上的最大值和最小值 12xy解：解：设设x1,x2是区间是区间2,6上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且
6、x1x2,则则f(x1)f(x2)=2x2-12x1-12(x2x1)(x1-1)(x2-1)由于由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是于是f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)所以，函数所以，函数 y 是区间是区间2,6上的单调递减上的单调递减.2x-1x=2时取最大值，最大值是时取最大值，最大值是2，在，在x=6时取最小值，最小值为时取最小值，最小值为0.4.题型三题型三二次函数的最值问题例例3.已知函数已知函数f(x)3x212x5，当自变量，当自变量x在下列范围内取值时，在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值(1)R；(2)0,3；(3)1,
7、1解析解析f(x)3x212x53(x2)27，作出函数，作出函数yf(x)的图象，的图象，如图所示如图所示xyo24245-7(1)当当xR时，时，f(x)3(x2)277，当，当x2时，等号成立时，等号成立故当故当xR时，函数时，函数f(x)的最小值的最小值为为7，无最大值，无最大值(2)7,5(3)4,20例例4.求函数求函数f(x)x22x2在区间在区间t，t1上的最小值上的最小值g(t)xyo1212-1-2xyo1212-1-2xyo1212-1-2t1t1ttt1t当当t11，即，即t1时，函数图时，函数图象如图象如图3所示，所示，函数函数f(x)在区间在区间t，t1上为增函数，
8、上为增函数，所以最小值为所以最小值为g(t)f(t)t22t2.当当t1t1，即，即0t1时，时，函数图象如图所示，函数图象如图所示，最小值为最小值为g(t)f(1)1例例5.已知函数已知函数f(x)x2ax1，求，求f(x)在在0,1上的最大值上的最大值xyo1212-1-2xyo1212-1-2解析解析(1)令令xy1，得，得f(1)2f(1)，故，故f(1)0.1函数函数yx22x，x0，3的值域为的值域为()A0，3B1，0C1，)D1，3xyo1212-1-23函数函数yax1在区间在区间1，3上的最大值为上的最大值为4，则则a_若若a0，则函数，则函数yax1在区间在区间1，3上是减函数，并且在区间上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即的左端点处取得最大值，即a14，解得，解得a3，不满足，不满足a0，则函数，则函数yax1在区间在区间1，3上是增函数，并且上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即在区间的右端点处取得最大值，即3a14，解得，解得a1.综上，综上，a114 函数函数g(x)的值域为的值域为 ，+)178
