1、解三角形解三角形第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊-2-知识梳理考点自诊1.正弦定理和余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊-3-知识梳理考点自诊第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊-4-知识梳理考点自诊3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的角叫做仰角,目标视线在水平视线的角叫做俯角(如图).(2)方向角:相对于某正方向的
2、水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等.(3)方位角:指从正北方向转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为(如图).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.上方 下方 顺时针 第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊-5-知识梳理考点自诊1.在ABC中,因A+B+C=,所以有以下结论:(1)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C.(2)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(3)ABabsin Asin Bcos A0(=0,sin B的充分不必要条件是AB
3、.()(4)在ABC中,a2+b20,解得b=3,故选D.A第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊-8-知识梳理考点自诊C5.(2018河北衡水中学押题三,15)已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则ABC的面积为.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-9-考点1考点2考点3考点4利用利用正、正、余弦定理解余弦定理解三角形三角形(2)(2018全国1,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bs
4、in C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.C第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-10-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-11-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-12-考点1考点2考点3考点4思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin
5、 B,c=2Rsin C能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-13-考点1考点2考点3考点4C3第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-14-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)b2=a(a+c),由余弦定理,
6、得a2+c2-2accos B=a(a+c),化简得c-a=2acos B,由正弦定理,得sin C-sin A=2sin Acos B,C=-(A+B),sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,化简得sin(B-A)=sin A,ABC是锐角三角形,B-A=A,即B=2A,第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-15-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-16-考点1考点2考点3考点4判断三角形的形状判断三角形的形状例2(1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a
7、,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,则ABC的形状为 .B等边三角形 解析解析:(1)由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A.A(0,),sin A0,sin A=1,即A=.ABC为直角三角形.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-17-考点1考点2考点3考
8、点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-18-考点1考点2考点3考点4思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-19-考点1考点2考点3考点4对点训练
9、2(1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2sin Acos B=sin C,那么ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C=51113,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形BB第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-20-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键
10、能力学案突破-21-考点1考点2考点3考点4正、正、余弦定理与三角变换的综合问题余弦定理与三角变换的综合问题 第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-22-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-23-考点1考点2考点3考点4思考在三角形中进行三角变换要注意什么?解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式S=absin C=bcsin A=acsin B中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦
11、定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供了条件.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-24-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-25-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-26-考点1考点2考点3考点4正、余弦定理在生活中的应用正、余弦定理在生活中的应用例4(2018河北衡水中学金卷十模,17)如图,一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为
12、,沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为.(1)求BC的长;(2)若l=24,=45,=75,=30,求信号塔CD的高度.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-27-考点1考点2考点3考点4第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-28-考点1考点2考点3考点4思考利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么?解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已
13、知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,根据条件列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-29-考点1考点2考点3考点4对点训练4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD=m.第四章第四章4.7解三角形解三角形必备知识预案自诊关键能力学案突破关键能力学案突破-30-考点1考点2考点3考点41.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
