1、7.5空间向量及其应用大一轮复习讲义基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.空间向量的有关概念知识梳理名称概念表示零向量模为 的向量0单位向量长度(模)为 的向量 相等向量方向 且模 的向量ab相反向量方向 且模 的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量ab共面向量平行于同一个 的向量 01相同相等相反相等平行或重合平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使得ba.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共
2、线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p .xe1ye2ze33.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作 ，其范围是 ，若a，b ，则称a与b ，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则 叫做向量a，b的数量积，记作 ，即ab .a，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b(2)
3、空间向量数量积的运算律(a)b ；交换律：ab ；分配律：a(bc).(ab)baabac4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积ab_共线ab(b0，R)_垂直ab0(a0，b0)_模|a|_夹角余弦cosa，b (a0，b0)cosa，b_a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b305.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的 .(2)平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n_平面，记作 ，此时，我们把向
4、量n叫做平面的 .方向向量垂直于n法向量(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm01.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗？提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(
5、ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有 0.()基础自测3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.1222122(12cos 120021cos 120)2，题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直又AB与CD没有公共点，ABCD.解析P，A，B，C四点共面，6.设，v分别是两个不同平面，的法向量，(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位
6、置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.解析当v(3，2,2)时，v232(2)520，v，所以；当v(4，4，10)时，v2，v，所以.7.已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_，以b，c为方向向量的两直线的夹角为_.60120解析由题意得，(2ab)c0102010，即2acbc10.因为ac4，所以bc18，所以b，c120，所以两直线的夹角为60.典题深度剖析重点多维探究题型突破空间向量的线性运算题型一师生共研解P是C1D1的中点，解N是BC的中点，解M是AA1的中点，思维升华SI WEI SHENG HUA用基向量表示指定向量的方法
7、(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.例2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；共线定理、共面定理的应用题型二师生共研证明连结BG，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.(2)求证：BD平面EFGH.所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.证明三点共线和空间四点共面的方法比较思维升华SI WEI SHENG HUA(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行
8、？解当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，MN平面ABB1A1.综上，当k0时，MN在平面ABB1A1内；当0k1时，MN平面ABB1A1.空间向量数量积及其应用题型三师生共研例3如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点.(1)求证：EGAB；(2)求EG的长；(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通
9、过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练3如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求 的长；则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，b2a2acbc1，向量法证明平行、垂直题型四师生共研例4如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角.求证：(1)CM平面PAD；证明以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
10、PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.设平面PAB的一个法向量m(x0，y0，z0)，平面PAB平面PAD.方法二如图，取AP的中点E，连结BE，PBAB，BEPA.又PADAA，PA，DA平面PAD，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.(1)用向量证明平行的方法线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量.线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.面面平行，证明两平面的法向量是共线向量.(2
11、)用向量证明垂直的方法线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直.线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练4如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BC ，B1C1BC且B1C1 ，二面角A1ABC是直二面角.求证：(1)A1B1平面AA1C；证明由二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1平面BAC.CAB90且CAAB，AB，AC，AA1两两互相垂直.以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直
12、角坐标系Axyz.设AB2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0，2,2).设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，A1B1平面AA1C.(2)AB1平面A1C1C.设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，令x11，则y11，z11，即m(1，1,1).又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C.课 时 精 练1.已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，b 2a，则x等于A.(0,3，6)B.(0,6，20)C.(0,6，6)D.(6,6，6)123456789 101112131415 16基础保分练得x4
13、a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20).2.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为123456789 101112131415 16解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.123456789 101112131415 163.已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为解析abx23，x1，b(1,1,2)，4.(2020北京海淀区模拟)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面
14、；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.123456789 101112131415
15、166.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是123456789 101112131415 167.(多选)下列各组向量中，是平行向量的是A.a(1,2，2)，b(2，4,4)B.c(1,0,0)，d(3,0,0)C.e(2,3,0)，f(0,0,0)D.g(2,3,5)，h(16，24,40)123456789 101112131415 16解析对于A，有b2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足gh，所以g与h不是平行向量.123456789 1
16、01112131415 16解析对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，当且仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面，故错误.123456789 101112131415 16平行又VA平面PMN，VA平面PMN.123456789 101112131415 16123456789 101112131415 1610.(2019广州调研)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，123456789 101112131415 1611.如图，在直三棱柱ABCA
17、BC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为棱AB，BB的中点.(1)求证：CEAD；123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16方法一CC平面ABC且CACB，以点C为原点，分别以CA，CB，CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略).令ACBCAA2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A(2,0,2)，B(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1,1,0)，123456789 101112131415 16根据题意得|a|b|c|，且abbcca0.(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.1234
18、56789 101112131415 16方法一CC平面ABC且CACB，以点C为原点，分别以CA，CB，CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略).令ACBCAA2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A(2,0,2)，B(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1,1,0)，123456789 101112131415 16根据题意得|a|b|c|，且abbcca0.123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16(1)求证：AE平面BCF；证明取BC中点H，连结OH，则OHBD，又四边形ABCD为正方形，A
19、CBD，OHAC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16又四边形BDEF为平行四边形，又AE平面BCF，AE平面BCF.(2)求证：CF平面AEF.123456789 101112131415 16又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.技能提升练A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定AMAD，AMD为直角三角形.123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16
20、则xyz_.123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16拓展冲刺练15.已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_.(1,1,2)当1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2).123456789 101112131415 1616.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，平面PBC底面ABCD.求证：(1)PABD；证明取BC的中点O，连结PO，PBC为等边三角形，POBC，平面PBC底面ABCD，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.123456789 101112131415 16(2)平面PAD平面PAB.又PAPBP，PA平面PAB，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.123456789 101112131415 16大一轮复习讲义7.5空间向量及其应用
