1、轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换.纵观几年的数学试卷，虽然广东中考考翻折和旋转综合题比较少，但是我们还是要重视.此类问题涉及几何、函数、方程、相似等多方面的知识点，其解题关键在于认真分析图形的变换过程，明确在图形变换的各个不同阶段，所要求的量的变化情况，进而准确确定其函数表达式或具体的值.旋转问题旋转问题(5(5年年2 2考考)1.（2019福建）如图2-36-1，在RtABC中，ABC=90，ACB=30.将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC，点A，B的对应点分别是点D，E（1）如图2-36-1，当点E恰好在AC上时，连接AD，求ADE的大小；（2）如图2-36-1，若=60，
2、点F是边AC的中点，接连EB，EC，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形（1 1）解：）解：ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转得到得到DECDEC，点，点E E恰好在恰好在ACAC上，上，CA=CDCA=CD，ECD=BCA=30ECD=BCA=30，DEC=ABC=90DEC=ABC=90，CAD=CDA=CAD=CDA=（180180-30-30）=75=75.ADE=90ADE=90-75-75=15=15.（2 2）证明：如答图）证明：如答图2-36-1.2-36-1.ABC=90ABC=90，点，点F F是边是边ACAC中点，中点，BF=AC.BF=AC.ACB=30A
3、CB=30，AB=AC.AB=AC.BF=AB.BF=AB.ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转6060得到得到DECDEC，BCE=ACD=60BCE=ACD=60，CB=CECB=CE，CA=CDCA=CD，DE=AB.DE=AB.DE=BFDE=BF，ACDACD和和BCEBCE均为等边三角形均为等边三角形.BE=BC.BE=BC.点点F F为为ACDACD的边的边ACAC的中点，的中点，DFAC.DFAC.在在RtRtCFDCFD和和RtRtABCABC中，中，CFDCFDABC(HL).ABC(HL).DF=BC.DF=BE.DF=BC.DF=BE.又又BF=DEBF=DE
4、，四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形CF=AC=AB,CF=AC=AB,CD=AC,CD=AC,2.（2020重庆）如图2-36-2，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，连接CE，DE点F是DE的中点，连接CF，AF（1）求证：CF=AD；（2）如图2-36-2，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为
5、m，请直接用含m的式子表示CE的长（1 1）证明：）证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，ABC=ACB=45ABC=ACB=45.把把ADAD绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转9090，得到，得到AEAE，AD=AEAD=AE，DAE=90DAE=90=BAC.=BAC.DE=ADDE=AD，BAD=CAE.BAD=CAE.又又AB=ACAB=AC，BADBADCAECAE（SASSAS）.ABD=ACE=45ABD=ACE=45.BCE=BCA+ACE=90BCE=BCA+ACE=90.点点F F是是DEDE的中点，的中点，CF=DE=AD.CF=DE=AD.（2 2）解：
6、）解：AG=BCAG=BC，理由如下：，理由如下：如答图如答图2-36-22-36-2，过点，过点G G作作GHBCGHBC于点于点H.H.BD=2CDBD=2CD，设设CD=aCD=a，则，则BD=2aBD=2a，BC=3a.BC=3a.BAC=90BAC=90，AB=ACAB=AC，AB=AC=AB=AC=由（由（1 1）可知，）可知，BADBADCAECAE，BD=CE=2a.BD=CE=2a.CF=DFCF=DF，FDC=FCD.FDC=FCD.tanFDC=tanFCDtanFDC=tanFCD，即，即 =2.=2.GH=2CH.GH=2CH.GHBCGHBC，ABC=45ABC=4
7、5，BGH=ABC=45BGH=ABC=45.BH=GH.BH=GH.BG=BH.BG=BH.BH+CH=BC=3aBH+CH=BC=3a，且，且BH=2CHBH=2CH，CH=aCH=a，BH=GH=2a.BH=GH=2a.BG=2 a.BG=2 a.AG=BGAG=BGAB=AB=（3 3）解：如答图）解：如答图2-36-32-36-3，将，将BPCBPC绕点绕点B B顺时针旋转顺时针旋转6060得到得到BNMBNM，连接，连接PN.PN.BP=BNBP=BN，PC=NMPC=NM，PBN=60PBN=60.BPNBPN是等边三角形是等边三角形.BP=PN.BP=PN.PA+PB+PC=A
8、P+PN+MN.PA+PB+PC=AP+PN+MN.当点当点A A，P P，N N，M M四点共线时，四点共线时，PA+PB+PCPA+PB+PC的值最小的值最小.此时，如答图此时，如答图2-36-42-36-4，连接，连接MC.MC.答图答图2-36-42-36-4将将BPCBPC绕点绕点B B顺时针旋转顺时针旋转6060得到得到BNMBNM，BP=BNBP=BN，BC=BMBC=BM，PBN=60PBN=60=CBM.=CBM.BPNBPN和和CBMCBM均是等边三角形均是等边三角形.BPN=BNP=60BPN=BNP=60，BM=CM.BM=CM.BM=CMBM=CM，AB=ACAB=A
9、C，AMAM垂直平分垂直平分BC.BC.ADBCADBC，BPD=60BPD=60，BD=PD.BD=PD.AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，ADBCADBC，AD=BD.PD+AP=PD.AD=BD.PD+AP=PD.PD=PD=BD=BD=由（由（1 1）可知，）可知，BADBADCAE.CAE.CE=BD=CE=BD=翻折问题翻折问题(5(5年年4 4考考)3.（2018荆州）如图2-36-3，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于点E；延长PF交AB于G求证：（1）AFGAFP；（2）APG
10、为等边三角形证明：（证明：（1 1）由题可得，）由题可得，DCMNABDCMNAB，BN=CNBN=CN，即即GF=PF.GF=PF.由折叠可知，由折叠可知，PFA=D=90PFA=D=90，AFG=AFP=90AFG=AFP=90.在在AFGAFG和和AFPAFP中，中，AFGAFGAFP AFP（SASSAS）.GF=PF,GF=PF,AFG=AFP,AFG=AFP,AF=AF,AF=AF,（2 2）AFGAFGAFPAFP，AG=APAG=AP，2=3.2=3.由折叠可知，由折叠可知，1=21=2，又又1+2+3=DAB=901+2+3=DAB=90，1=2=3=301=2=3=30.2
11、+3=602+3=60,即即PAG=60PAG=60.APGAPG为等边三角形为等边三角形4.（2018鄂尔多斯）如图2-36-4，在ABC中，BAC45，ADBC于点D，BD6，DC4，求AD的长.小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题.按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出ABD和ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设ADx，求出AD的长.（1 1）证明：由题意，得）证明：由题意，得ABDABDABEABE，ACDACDACF.ACF.DABDABEABEAB，DACDACFAC.FA
12、C.又又BACBAC4545，EAFEAF2BAC=902BAC=90.ADBC,ADBC,EEADBADB9090，FFADCADC9090.四边形四边形AEGFAEGF是矩形是矩形.又又AEAEADAD，AFAFAD,AD,AEAEAF.AF.四边形四边形AEGFAEGF是正方形是正方形.（2 2）解：设）解：设ADADx x，则，则AEAEEGEGGFGFx.x.BDBD6 6，DCDC4 4，BEBE6 6，CFCF4.4.BGBGx-6x-6，CGCGx-4.x-4.在在RtRtBGCBGC中，中，BGBG2 2+CG+CG2 2BCBC2 2，即（即（x-6x-6）2 2+（x-4
13、x-4）2 2（6+46+4）2 2.化简化简,得得x x2 2-10 x-24-10 x-240.0.解得解得x x1 11212，x x2 2-2-2（舍去）（舍去）.ADAD12.12.5.（2019湘潭）如图2-36-5，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且ABCD（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AC=16，BC=10，求四边形ABCD的面积解：（解：（1 1）四边形）四边形ABCDABCD是菱形是菱形,理由如下：理由如下：将将ABCABC沿着沿着ACAC边翻折，得到边翻折，得到ADCADC，AB=ADAB=AD，BC=CDBC=CD，BAC=DACBAC=DAC
14、，BCA=DCA.BCA=DCA.ABCDABCD，BAC=DCA.BAC=DCA.BAC=DAC=DCA=BCA.BAC=DAC=DCA=BCA.ADBCADBC，AB=AD=BC=CDAB=AD=BC=CD，四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形.（2 2）如答图）如答图2-36-5,2-36-5,连接连接BDBD交交ACAC于点于点O.O.四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，ACBDACBD，OA=OC=AC=8OA=OC=AC=8，OB=OD.OB=OD.OB=6.OB=6.BD=2OB=12.BD=2OB=12.四边形四边形ABCDABCD的面积为的面积为 ACBD=ACB
15、D=161612=9612=966.(2020金昌）如图2-36-6，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且MAN=45把ADN绕点A顺时针旋转90得到ABE（1）求证：AEMANM;（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长（1 1）证明：由旋转的性质得，）证明：由旋转的性质得，ADNADNABE.ABE.DAN=BAEDAN=BAE，AE=AN.AE=AN.DAB=90DAB=90，MAN=45MAN=45，MAE=BAE+BAM=DAN+BAM=45MAE=BAE+BAM=DAN+BAM=45.MAE=MAN.MAE=MAN.在在AEMAEM和和ANMANM中，中，AE
16、MAEMANMANM（SASSAS）AE=ANAE=AN，MAE=MANMAE=MAN，AM=AMAM=AM，（2 2）解：设）解：设CD=BC=xCD=BC=x，则，则CM=x-3CM=x-3，CN=x-2.CN=x-2.AEMAEMANMANM，EM=MN.EM=MN.BE=DNBE=DN，MN=EM=BM+BE=BM+DN=5.MN=EM=BM+BE=BM+DN=5.C=90C=90，MNMN2 2=CM=CM2 2+CN+CN2 2，即，即5 52 2=（x-3x-3）2 2+（x-2x-2）2 2.解得解得x=6x=6或或x=-1(x=-1(舍去舍去).).正方形正方形ABCDABC
17、D的边长为的边长为6 67.如图2-36-7，点B在线段CE上，RtABCRtCEF，ABCCEF90，BAC30，BC1（1）点F到直线CA的距离是_；1 1（2）固定ABC，将CEF绕点C按顺时针方向旋转30，使得CF与CA重合，并停止旋转请你在图2-36-7中用直尺和圆规画出线段EF经旋转后所形成的平面图形（用阴影表示，保留作图痕迹，不要求写画法）则该图形的面积为_；如图2-36-7，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OEOB时，求OF的长解：（解：（2 2）线段）线段EFEF经旋转后所形成的平面图形如答图经旋转后所形成的平面图形如答图2-36-62-36-6所所示，此时点示，此时
18、点E E落在落在CFCF上的点上的点G G处处如答图如答图2-36-72-36-7，过点，过点E E作作EHCFEHCF于点于点H H设设OBOBOEOEx x在在RtRtECFECF中，中，EFEF1 1，ECFECF3030，EHCFEHCF，ECEC EF EF ，EHEH ，CHCH EHEH在在RtRtBOCBOC中，中，OCOCOHOHCH-OCCH-OC在在RtRtEOHEOH中，中，OEOE2 2=EH=EH2 2+OH+OH2 2，即，即x x2 2解得解得x x 或或x=-x=-（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.OCOCCFCF2EF2EF2 2，OFOFCF-OCCF-OC2-2-
