1、第第2节导数在研究函数中的应用节导数在研究函数中的应用最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.1.函数的单调性与导数的关系设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间是增函数；如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间是减函数知知 识识 梳梳 理理f(x)0f(x)02.函数的极值与导数的
2、关系已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近所有点x，都有_，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作_，并把x0称为函数f(x)的一个_；如果在x0附近都有_，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作_，并把x0称为函数f(x)的一个_f(x)f(x0)y极小f(x0)极小值点3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数的最小值，_为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则_为函数的最大值，_为函数的最小值(3)求可导函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：
3、求f(x)在(a，b)内的_；将f(x)的各极值与_进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a)，f(b)常用结论与微点提醒1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)若函数yf(x)在(a，b)内，恒有f(x)0，则yf(
4、x)在(a，b)内不具有单调性.()(3)函数的极大值一定比极小值大.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上有f(x)0，故(1)错.(3)函数的极值是局部概念，极大值与极小值大小不能确定，故(3)错.答案(1)(2)(3)(4)诊诊 断断 自自 测测答案B3.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合.答案D4
5、.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，则f(x)极小值为f(1)1.答案A解析f(x)x23xa，且f(x)恰在1，4上单调递减，f(x)x23xa0的解集为1，4，因此1，4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.答案4考点一求函数的单调区间考点一求函数的单调区间(典例迁移典例迁移)第第1 1课
6、时导数与函数的单调性课时导数与函数的单调性解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，令g(x)0，得x(x1)(x4)0，解之得1x0或x0，所以f(x)在(0，)上为单调递增函数.综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间.规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间.令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去.当x(0，5)时，f(x)0.f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).考点二证明考点二证明(判断判断)
7、函数的单调性函数的单调性【例2】(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.规律方法1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20
8、(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.【训练2】(2015全国卷改编)已知函数f(x)ln xa(1x)，讨论f(x)的单调性.若a0，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增.考点三导数在函数单调性中的应用考点三导数在函数单调性中的应用(易错警示易错警示)当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0.g(x)在(0，)上是减函数.由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，g(3)g(e)g(ln 2)，故cab.答案D若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，即实数a的取值范围是(1，).由h(x)在1，4上单调递减，当且仅当x4时等号成立.(*)h(x)在1，4上为减函数.规律方法1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.3.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.当0 x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0时恒成立，
